量子力学の微分方程式の解

質問

量子力学の微分方程式の解

動径方向の微分方程式は(1)のようにかける。
固有関数は(2)のようにかけるとき、
パラメータaとエネルギー固有値Eを求めよ。

この問題↑を解いたのですが、
答えは(3)のようになりました。
これであっているでしょうか？
また、エネルギー固有値をどう求めればよいか分かりません。

どなたか教えていただけるとうれしいです。

回答No.2

cocacola2010 · ベストアンサー

本来は、R(r)の値は漸近解や級数を用いて一般的に表現するものですが、
この問題でのアプローチは、
「適当にそれっぽいR(r)を置いてみた」→「代入して計算してみた」
→「方程式を満たした」→「解がひとつ見つかった！」
という運任せ的なやり方です、
しかし微分方程式の解法ではこれも立派な方法論のひとつです。

おそらくそういう問題の意図でしょうから、A,aは(rに依存しない)定数ですので、
aをrで表しちゃだめです。

とりあえずR(r)を代入して見ましょう。
hはエイチバーを表します。
α=2m/h^2 β=e^2/4πε　と置くとしましょう。
代入したらrでまとめます。
(αE+a^2)r＋(αβ-4a)+(2-L(L+1))/r = 0
この式の中には、r依存する値がありません。
つまり変数rに関する恒等式です。

αE+a^2=0　　αβ-4a=0　　2-L(L+1)=0
の３式が得られました。
「適当にそれっぽいR(r)を置いてみた」といいましたが、
この3式の解が矛盾するものであれば、R(r)は方程式を満たさず解としてはじかれます。
今回は矛盾せず（そう問題作成者が作ってくれているので当たり前ですが。）

L=1
a=αβ/4
E=-a^2/α

が求まりました。、
量子数n、軌道角運動量Lの動径関数を調べれば簡単に検算できます。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

丁寧にご回答いただいたおかげで、理解の助けになりました。

回答No.1

quadlike

(2)式を(1)式に代入すれば，rに関する2次方程式
　(…)r^2＋(…)r＋(…)＝0
の形になります．各係数(…)＝0とすれば，aとEが求まります．

一般的には，R(r)は次のように求めることができます．
r→0とr→∞でのR(r)の漸近形
　R(r)→F(r) 　(r→0)
　R(r)→G(r) 　(r→∞)
を(1)式から求め，この2つの漸近形をくくり出すことで，
　R(r)＝v(r)F(r)G(r)
とおけます．これを(1)式に代入すればv(r)に関する微分方程式に帰着します．この微分方程式は合流型超幾何微分方程式なので一般形が得られたことになります．
詳しい議論については，
http://physics.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/
で公開している量子力学の講義ノートの6.5クーロンポテンシャルの項が参考になると思います．

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

参考にさせていただきます。