- ベストアンサー
次の関数を一般解に持つ微分方程式を求めよ
ある書籍の例題です。 例題) 次の関数を一般解に持つ微分方程式を求めよ。 y = e ^ (A * x^2 + B) 答えの微分方程式は、 (1) x * y * y'' = y^2 * y' + x * (y')^2 (2) x * y * y'' = y * y' + x * (y')^2 のどちらが正しいですか?
- Thunderball
- お礼率100% (5/5)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
y = e ^ (A * x^2 + B) は(1)を満たしませんが、(2)を満たします。 よって、正しいのは(2)です。
その他の回答 (1)
それぞれ当てはめてみれば判ること。(答えは(2)だが) だいたい、この問題って数学をなめているにしか思えない。問題としてどうかと思う。 計算して当てはめてみれば判ることを〇バツ問題で出しているのは 数学の問題としてその書籍は失格。
お礼
ありがとうございます! 誤解を与える表記で失礼いたしました。 例題としては、選択問題ではなくて、 次の関数を一般解に持つ微分方程式を求めよ。y = e ^ (A * x^2 + B) のみです。その後に解説がついているのです。
関連するQ&A
- 微分方程式
微分方程式の勉強をしているのですが、 本の微分方程式を解く例題で y''-2y'+y=xe^x 特性方程式s^2-2s+1=0は2重解s=1をもつ。これより補助方程式の一般解は y=e^x(Ax+B) である。 与方程式の右辺を微分して生ずる関数は、xe^x,e^xであるが、これらは 上の一般解に含まれている。このような場合特殊解を求めるために、xe^xに特性方程式の解1の重複度2だけxをかけて、 y1=ax^3e^xとおくと y1'=a(x^3*e^x+3x^2*e^x),y1''=a(x^3*e^x+6x^2*e^x+6xe^x) これらを与方程式に代入すると6axe^x=xe^xよりa=1/6 よってy=e^x(Ax+B+x^3/6) とあるのですが、上文にある重複度っていうのがわかりません。 例えば、特性方程式の解が2±i(虚数解)で、これより 補助方程式の一般解はy=e^(2x)(Asinx+Bcosx) 与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば いいでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解について
微分方程式の一般解についてなんですが、特性解が重解や2つあるときはわかるのですが特性解が1つのときの一般解の求め方がわかりません。 今、yの二階微分をA、一階微分をBとします。 例えば4D-12B+9y=0という微分方程式があったとして、これの特性解は3/2です。 どうやって求めたらいいのでしょう?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解を求めたいです。
dy/dx = (a+by)(c(x)+d(x)y) ここで、a,bは定数、c(x),d(x)はxの区間Iで連続とする。 (1)この微分方程式は、変数変換y = 1/b(1/z - a)により次の線形微分方程式に変換されるという。 dz/dx = f(x)z + g(x) をf(x),g(x)をa,b,c(x),d(x)を用いて表せ。 ********************************************* これはf(x) = ad(x) - bc(x) g(x) = -d(x) として答えがでました。 ********************************************* (2)a = b = 1,c(x) = x + 2/x , d(x) = xとするとき、微分方程式の一般解を求めよ。 dz/dx = -2z/x -x という式になると思うんですけど一般解をどう導き出していいのか分かりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の微分方程式の一般解について教えて下さい。
数学の常微分方程式の問題について。一般解を求める問題です。 以下の常微分方程式の一般解を求める。 1.y''-2y'-3y=x^3 2. y'''-2y''-y'+2y=e^ (-x) 3. y''+y'+y=x^2・e^x 特殊解の出し方が良く分からず困っています。試験があるので解き方を早急に教えてほしいのです。一問でも書き込んでくれたらとてもうれしいです。 他力本願ではありますが助けて下さい。宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解
微分方程式の一般解を求める問題なのですが、どうしてもよく分かりません。 y'6+4y'2=40x^3 (ここで'○は微分の回数を示すとします。また、以下ではD=d/dxのことです) 同時方程式(D^6+4D^2)y=D^2(D^4+4)y=D^2{(D^2+2)^2-4D^2}y=D^2(D^2+2+2D)(D^2+2-2D)y=D^2{(D+1)^2+1}{(D-1)^2+1}y=0 の基本解は{1、x、e^(-x)cosx、e^(-x)sinx、e^xcosx、e^xsinx} 次に特殊解Y(x)を求める。 非同次項R(x)=40x^3は同時方程式40D^4y=0の解だから、 特殊解Y(x)の式Yは同時方程式 40D^4・D^2{(D+1)^2+1}{(D-1)^2+1}y=0の解である。 この基本解{1、x、x^2、x^3、x^4、x^5、e^(-x)cosx、e^(-x)sinx、e^xcosx、e^xsinx}から与式の基本解を除いたx^2、x^3、x^4、x^5の一次結合として Y(x)=Ax^2+Bx^+Cx^4+Dx^5とおく。 与式の左辺に代入… と続いていくのですが、どうにもしっくりきません。 答えも y=(20/3)x^3+c1+c2x+e^(x/√2){c3cos(x/√2)+c4sin(x/√2)}+e^(-x/√2){c5cos(x/√2)+c6sin(x/√2)} となり、私の解からでは到底結びつくとは思えないです。 気になるのが 「非同次項R(x)=40x^3は同時方程式40D^4y=0の解だから」 としていますが、本当にこれで良いのか自信もありません。 もし間違えていたら解説をお願いします。 また、他に違うというようなところがあったら指摘してください。 回答、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解の求め方で・・・・
次の微分方程式の一般解を求めよという問題です。 xtan(y/x) - y + xy' = 0 これってどうすればいいのでしょうか? u=y/xとおいたのですがとけませんでした。教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 常微分方程式の特殊解の求め方
変数分離形の常微分方程式のうち、境界条件を代入した一般解から特殊解への算定方法がわかりません。次の数値例に基づき解き方のご教示をお願いいたします。 微分方程式: y´+2y=0(境界条件:y(0)=3) その一般解: 3=e^(‐2x+c) 一般解に境界条件を代入:3=e^c 特殊解: y=3e^-2x
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます! 共立出版「微分方程式と変分法」例題1.1(2)がきっかけの質問でした。