正三角形の作図です。（問題）「与えられた三本の平行線a,b,c上にそれ

質問

正三角形の作図です。（問題）「与えられた三本の平行線a,b,c上にそれぞれ頂点A,B,Cをもつ正三角形ABCを作図せよ。」答えもあります。その通りにすると作図できました。しかし、なぜそうするとできるのか、理解不可能です。（解答）(1)a上に点Aをとり、Aからbに垂線AHを下す。(2)AHをAを中心として60°回転移動させた線分をAH'とし、H'を通ってAH'に垂直な直線b'とcとの交点をCとする。(3)ACをAを中心として前と反対方向に60°回転移動させた線分をABとすると、△ABCが求める正三角形。（AHの回転の方向により2つできる）正確には描けませんが、だいたいの解答の作図を添付します。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

たびたびですが ＾＾；

＞なぜCを見つけだすことができるのかが、わからないんです。

#3の回答で言えば、
>> ・この作図だけでは、角CAB＝ 60度とは言えません。
つまりは、角CAB＝ 60度となるように選べばよい。【条件★】ということになります。

作図(1)で「先に」60度回転させています。
つまり、b '上の点はどこであっても、(2)で 60度戻した時点で角X 'AX＝ 60度となっています。
（点X 'は直線 b '上の点、点Xは直線 b上の点）
この時点で、上の【条件★】がクリアされていることになります。

問題の条件として、「三本の平行線a,b,c上にそれぞれ頂点A,B,Cをもつ」とありますから、直線 cと直線 b 'の交点が点Cとして与えられることになります。

一度、60度回った世界にいくことで、元に戻ってきても回転の中心点とのなす角が 60度になるようにできているということになります。

お礼

なんとか、わかりました。最後まで丁寧におつきあいくださり、ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

#2（#1）です。

＞しかしこの作業でACを出し、ACがなぜ正三角形の一辺であることがわかるのですか。
わかるというよりも、「このACを基準にして作図をしている」と考えた方がよいと思います。
つまり、このACと同じ長さとなる ABを作図し、角BAC＝ 60度となるようにしているということです。

それなら、適当に ACをとっても構わないように見えますが、
・もし、辺ACを適当にとったとして
・点Aを中心とする半径ACの円を描きます。
・直線 bと交わる点を Bとしますが、
・この作図だけでは、角CAB＝ 60度とは言えません。

最後の 60度となるところをうまく選ぶために、先の方法で点Cを選んでいることになります。

お礼

何度もありがとうございます。でも、まだわかりません。なぜCを見つけだすことができるのかが、わからないんです。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞でも、三角形AHBと三角形AH 'Cは合同であることがわかりません。
すみません。
合同ということを示すよりも (3)の操作を考えた方がわかりやすいですね。

＞(3)ACをAを中心として前と反対方向に60°回転移動させた
回転させただけですから、明らかに AC＝ ABとなりますよね。

あとは、先の回答にも書きましたが、頂角ACB＝ 60度ということで、
「頂角が 60度の二等辺三角形」＝「正三角形」となります。

回転しているところのイメージが大事でしたね。＾＾；

お礼

ありがとうございます。しかしこの作業でACを出し、ACがなぜ正三角形の一辺であることがわかるのですか。

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。

ポイントは
＞H'を通ってAH'に垂直な直線b'
ここで 「b '」と書いているところですね。

その前に「AHをAを中心として60°回転移動させた」とありますが、
どちらかといえば「AHと直線 bをまとめて、60度回転移動させた」と見た方がいいかと思います。
そして、回転移動した後の 2直線が AH 'と b 'となっています。

そう見ると、三角形AHBと三角形AH 'Cは合同であることがわかります。
ということで、辺AB＝辺ACとなります。
さらに、60度回転させていることから、角BAC＝ 60度となり、三角形ABCが正三角形であるといえることになります。

図がないと、なかなか気付かないですね。＾＾；

お礼

ありがとうございます。じっくり考えました。でも、三角形AHBと三角形AH 'Cは合同であることがわかりません。