平面への正射影

質問

次の問題がわかりません。教えてください。
空間内に平面αと正三角形ABCがあり、A，B，Cからαに引いた垂線とαとの交点をそれぞれA'，B'，C'とすると
　　A'B'=1，　B'C'=√6，　C'A'=3
である。正三角形ABCの一辺の長さを求めよ。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

Bを通るA'B'に平行な直線とAA'との交点をA''
Bを通るB'C'に平行な直線とCC'との交点をC''
Aを通るA'C'に平行な直線とCC'との交点をC'''
AA''=x、CC''=y、正三角形ABCの一辺の長さをa
とする。
△ABA''でa^2=x^2+1^2=x^2+1・・・・・・・・・・・・・・・・(ア)
△CBC''でa^2=y^2+(√6)^2=y^2+6・・・・・・・・・・・・(イ)
△ACC'''でa^2=(x-y)^2+3^2=x^2+y^2-2xy+9・・・(ウ)
(ア)(イ)を(ウ)に代入
a^2=(a^2-1)+(a^2-6)-2xy+9=2a^2-2xy+2
xy=(2+a^2)/2
x^2y^2=(1/4)(a^4+4a^2+4)・・・・・・・・・・・・・・・(エ)
(ア)(イ)よりx^2y^2=(a^2-1)(a^2-6)・・・・・・・・(オ)
(エ)=(オ)とおいて
a^4+4a^2+4=4a^4-28a^2+24
3a^4-32a^2+20=0
a^2=(1/6){32±√(32^2-4*3*20)}=(1/6)(32±√784)
=(1/6)(32±28)
a＞1よりa^2=(1/6)*60=10
よって求める正三角形ABCの一辺の長さは√１０。

お礼

ありがとうございました。すっきり理解できました。