二つの異なる自然数A、Bがある。Aを6で割ると5余り、Bを3で割ると2

質問

二つの異なる自然数A、Bがある。Aを6で割ると5余り、Bを3で割ると2余る。
この時A+Bを3でわると余りが1になるわけを説明しなさい。

この証明の説明の仕方を教えてください。

またこういう証明の問題で自分でおいた文字をどういう時に整数または自然数とするのですか？

回答No.4

bgm38489 · ベストアンサー

まず、実際の数字で検討してみる。６で割って５余る数、１１。３で割って２余る数、５。それを足せば、１６。これは、３で割って１余る。
６で割って５余るということは、６の倍数＋５ということ。だから、任意の自然数mを考えると、6m＋5と表わせる…というのは間違い。整数５は？だから、0を含む任意の自然数mを考えなくてはいけない。
よって、
０を含む任意の自然数ｍ、ｎを考えるとき、
Ａ＝６ｍ＋５
Ｂ＝３ｎ＋２と表わせる。
ここで、Ａ＋Ｂ＝…＝３（２ｍ＋ｎ＋２）＋１
３の倍数＋１となり、３で割れば１余ることが証明された。

お礼

皆さんわかりやすい説明をしていただき、ありがとうございました！！

回答No.3

D-Matsu

あー、どういう場合に「整数」でどういう場合に「自然数」と置くのか、って事ですか？

でしたら、
・0 / 負の数を考慮に入れるかどうか
で考えます。

考慮する場合は「整数」、考慮しない場合は「自然数」です。

回答No.2

LTCM1998

ちょっと面倒だけれども，ともかく出てくる未知数は文字にしてしまうのも解き方のひとつです。
証明問題が苦手な人ほど，やらずに考えてしまうんです。
文字が増えてアウトになるかもしれないけど一度やってみよう，と考えないといけません。

いま，自然数m,nとおく。
仮定より，それぞれの割り算の商をm，nとすると
A÷6＝m…5であるから
A=6m+5
同様に
B=3n+2
よって
A+B=6m+5+3n+2
=6m+3n+7
この式は
A+B= (6m+3n+6) +1より
A+B= 3(2m+n+2) +1
と表せる。
いまm,nは自然数であるから，(2m+n+2)も自然数であり，
3(2m+n+2)は3の倍数である。
よって，A+Bは3の倍数に1を加えたものであるから，A+Bを3で割ると1余る。

回答No.1

D-Matsu

A / 6の商をa、B / 3の商をbとすると、

A = a * 6 + 5
B = b * 3 + 2

になりますね。
ということは、A + Bは

a * 6 + 5 + b * 3 + 2

つまり
a * 6 + b * 3 + 7
です。

これを3で割ると、
a * 6 + b * 3
は3で割り切れますから、余りは
7 / 3
の余り、即ち1となります。

とまぁ見ての通り、「どんな数でも成立する」ので自分で置いた文字を数値化する場面はありません。