余りに関する証明

質問

学校で出た数学の課題なのですが、わからないので教えてください。
1
整数nに対して、nの2乗を3で割ったときの余りは0か1であることを証明せよ。

2
どのような整数nに対しても
nの2乗＋n＋1は5で割り切れないことを示せ。

このような問題なのですが、どこをどうすればいいのか全くわかりません。
どうすればいいのか教えてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

このような余りの問題は、整数ｎを割る数に対して場合分けして考えるといいですよ。

１）　ｍを整数とすると、整数ｎは次の3通りに場合分けできます。
　　ｎ＝３ｍ、３ｍ＋１、３ｍ＋２

　そして、このそれぞれに場合について、求める数を割る数３で整理してみます。

　ａ）ｎ＝３ｍのとき
　　　n^2＝9m^2　⇒　n^2は３の倍数なので、余りは０
　ｂ）ｎ＝３ｍ＋１のとき
　　　n^2＝(3m+1)^2＝9m^2+6m+1＝3(3m^2+2m)+1
　　　　　　　　　⇒　n^2を３で割った余りは１
　ｃ）ｎ＝３ｍ＋２のとき
　　　n^2＝(3m+2)^2＝9m^2+12m+4＝3(3m^2+4m+1)+1
　　　　　　　　　⇒　n^2を３で割った余りは１

　以上のことから、n^2を３で割った余りは、０か１となります。

２）ｎと次の5通りに場合分けします。
　　ｎ＝５ｍ、５ｍ＋１、５ｍ＋２、５ｍ＋３、５ｍ＋４

　ａ）ｎ＝５ｍのとき
　　n^2+n+1＝25m^2+5m+1＝5(5m^2+m)+1
　　　　　　　　　⇒　５で割った余りは１で割り切れない
　ｂ）ｎ＝５ｍ＋１のとき
　　n^2+n+1＝(5m+1)^2+(5m+1)+1＝25m^2+10m+1+5m+1+1＝5(5m^2+3m)+3
　　　　　　　　　⇒　５で割った余りは３で割り切れない
　ｃ）ｎ＝５ｍ＋２のとき
　　n^2+n+1＝(5m+2)^2+(5m+2)+1＝25m^2+20m+4+5m+2+1＝5(5m^2+5m+1)+2
　　　　　　　　　⇒　５で割った余りは２で割り切れない
　ｄ）ｎ＝５ｍ＋３のとき
　　n^2+n+1＝(5m+3)^2+(5m+3)+1＝25m^2+30m+9+5m+3+1＝5(5m^2+7m+2)+3
　　　　　　　　　⇒　５で割った余りは３で割り切れない
　ｅ）ｎ＝５ｍ＋４のとき
　　n^2+n+1＝(5m+4)^2+(5m+4)+1＝25m^2+40m+9+5m+4+1＝5(5m^2+9m+2)+4
　　　　　　　　　⇒　５で割った余りは４で割り切れない

　以上のことから、ｎがどのような整数であっても５で割り切れないということが示されます。

お礼

Mr_Hollandさんどうもありがとうございますっ！
なんとかなりそうです。頑張ります。

回答No.2

zk43

１
n=3k（k:整数、以下同様）のとき
n^2=9k^2・・・3で割り切れる
n=3k+1のとき
n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1・・・3で割ると余り1
n=3k+2のとき
n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1・・・3で割ると余り1

２
n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4それぞれの場合について考える。

お礼

zk43さん、ありがとうございますっ！
参考にしてやってみます。