全微分に関して教えてください。
全微分に関して教えてください。
教科書には、
まず、1階微分方程式：dy/dx=-p(x,y)/q(x,y)が定義され、
p(x,y)dx+q(x,y)dy=0・・・(1)
と変形した形が書かれています。
そして、完全形の条件が書かれています。
そこで、(1)が完全形であるための必要十分条件は、
∂p(x,y)/∂y=∂q(x,y)/∂xと書かれ、
証明が始まるのですが、
[必要条件]
pdx+qdyが関数uの全微分であるならば、du=∂u/∂x dx+∂u/∂y dy=pdx+qdy
よって、p=∂u/∂x、q=∂u/∂yであり、
∂p/∂y=∂^2u/∂y∂x=∂^2u∂x∂y=∂q/∂x
[十分条件]
∂p/∂y=∂q/∂xとしたとき、
F(x,y)=∫p(x,y)dx・・・(2)とおくと、
p(x,y)=∂F/∂x, ∂q/∂x=∂p/∂y=∂^2F/∂x∂y・・・(3)
であるから、∂/∂x(q-∂F/∂y)=0・・・(4)
すなわち、q-∂F/∂y・・・(5)
はyだけの関数である。
q-∂F/∂y=G(y)・・・(6)
よって、
u(x,y)≡∫q(x,y)dy=F(x,y)+∫G(y)dx・・・(7)
とおけば、
∂u/∂y=q(x,y)、∂u/∂x=∂F/∂x=p(x,y)
であるから、
du=∂u/∂x dx+∂u/∂y dy=p(x,y)dx+q(x,y)dy・・・(8)
となり、証明終了となっております。
必要条件に関しては分かるのですが、
十分条件に関しての証明がよく分かりません。
I、(2)とおく理由
II、(4)となる理由
III、(5)がｙだけの関数という意味
IV、その結果、(7)となった過程
上記のI～IVに関して教えていただけませんでしょうか
長々と申し訳ありません。
どうしても理解したいので、
どなたか、教えていただけませんか。
宜しくお願いいたします。
※数式に関しては、何度か確認したのですが、
間違っていたらご指摘ください。
