次の微分方程式が解けません。どうやったら、解けるのかお願いします。

質問

次の微分方程式が解けません。どうやったら、解けるのかお願いします。

(1)y'+ky=e^-ky
左辺をy=λとして
λ+k=0より
λ=-k
yp=a1x+Ce^-ky
yp'=a1+kCe^-ky

右辺より
a1=0,(k+1)C=1
C=1/k+1
でも、これだと違うみたいなのですよね…

(2)y"-2y+1=2x+2e^-x

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)y'+ky=(e^{-k})y
ならば
y'=(e^{-k}-k)y
y'/y=e^{-k}-k
log(y)=(e^{-k}-k)x+c1
y=ce^{x(e^{-k}-k)}

y'+ky=e^{-ky}
ならば
y'/(e^{-ky}-ky)=1
∫(1/(e^{-ky}-ky))dy=x+c
…?

(2)y"-2y+1=2x+2e^{-x}
y"-2y=2x+2e^{-x}-1
D=d/dx
(D^2-2)y=2x+2e^{-x}-1
(D-√2)(D+√2)y=2x+2e^{-x}-1
=(D-√2)(-x√2-1+(1/√2)-2(e^{-x})(√2-1))
(D+√2)y=(-x√2-1+(1/√2)-2(e^{-x})(√2-1))
=(D+√2)(-x+e^{-x}+1/2)
特殊解は
y=-x+e^{-x}+(1/2)
y"-2y=0の解はy=c_1e^{x√2}+c_2e^{-x√2}だから
一般解は
y=-x+e^{-x}+(1/2)+c_1e^{x√2}+c_2e^{-x√2}

回答No.1

Tacosan

(1) は閉じた式にならない気がするなぁ.
(2) の方は (d/dx-1)^2 y = 2x+2e^-x だから定数変化法に持ち込むことはできるはず.