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この問題について教えてください!

この問題について教えてください! dで通常のR^2上の距離を表すことにする。 以下で定義された写像~d:R^2×R^2→Rが、距離の性質を満たすことを示せ。 ~d((x1,y1),(x2,y2)):=|x1-y1|+|x2-y2| for (x1,y1),(x2,y2)∈R^2 よろしくお願いします。

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回答No.3

以下の4つを証明すればよいかと。 ・非負性 ~d((x1,y1),(x2,y2))>=0 は定義より明らか ・非退化性  (x1,y1)=(x2,y2)のとき、~d((x1,y1),(x2,y2))=0  逆に、~d((x1,y1),(x2,y2)=0のとき、(x1,y1)=(x2,y2)も明らか ・対称性  ~d((x1,y1),(x2,y2)=~d((x2,y2),(x1,y1) は定義より明らか ・三角不等式  ~d((x1,y1),(x2,y2)+~d((x2,y2),(x3,y3))>=~d((x1,y1),(x3,y3)  については、  左辺=|x1-x2|+|y1-y2|+|x2-x3|+|y2-y3|    ={|x1-x2|+|x2-x3|} + [|y1-y2|+|y2-y3|]  右辺=|x1-x3|+|y1-y3|    ={|(x1-x2)+(x2-x3)|} + [|(y1-y2)+(y2-y3)|]  両辺の{}内、[]内をそれぞれ比較します。   左辺{}内の平方=|x1-x2|^2+|x2-x3|^2+2|x1-x2||x2-x3|   右辺{}内の平方=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+2(x1-x2)(x2-x3)   なので、左辺の{}内>=右辺の{}内。   []内の比較についても同様。  ・・・ということで、三角不等式を満たします。 Wikipedia「距離空間」によれば、この~dはマンハッタン距離と呼ばれる もののようですね。

chibin1213
質問者

お礼

丁寧に書いていただき、本当にありがとうございました。゜(゜PД`q゜)゜。

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その他の回答 (2)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

それ全体で「1つの記号」です. 特に意味はありません. ま, 結局のところ「距離の一種」なので distance の d を使ったということでしょう. というか, 記号の意味を聞くなら問題を出した人に聞くべきではなかろうか. 赤の他人に聞いたところでしょせん推測でしかないんだし.

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

特段説明を要することもなく, 淡々と示すだけですね. ここに書くほどのこともない.

chibin1213
質問者

補足

補足質問させてください。~dとはどういう意味ですか?

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