この問題について教えてください!

質問

この問題について教えてください!

dで通常のR^2上の距離を表すことにする。

以下で定義された写像~d：R^2×R^2→Rが、距離の性質を満たすことを示せ。

~d((x1,y1),(x2,y2)):=|x1-y1|+|x2-y2| for (x1,y1),(x2,y2)∈R^2

よろしくお願いします。

回答No.3

aquatarku5 · ベストアンサー

以下の4つを証明すればよいかと。

・非負性　~d((x1,y1),(x2,y2))>=0　は定義より明らか
・非退化性
　(x1,y1)=(x2,y2)のとき、~d((x1,y1),(x2,y2))=0
　逆に、~d((x1,y1),(x2,y2)=0のとき、(x1,y1)=(x2,y2)も明らか
・対称性
　~d((x1,y1),(x2,y2)=~d((x2,y2),(x1,y1)　は定義より明らか
・三角不等式
　~d((x1,y1),(x2,y2)+~d((x2,y2),(x3,y3))>=~d((x1,y1),(x3,y3)
　については、
　左辺=|x1-x2|+|y1-y2|+|x2-x3|+|y2-y3|
　　　={|x1-x2|+|x2-x3|}　+　[|y1-y2|+|y2-y3|]
　右辺=|x1-x3|+|y1-y3|
　　　={|(x1-x2)+(x2-x3)|}　+　[|(y1-y2)+(y2-y3)|]
　両辺の｛｝内、[]内をそれぞれ比較します。
　　左辺｛｝内の平方=|x1-x2|^2+|x2-x3|^2+2|x1-x2||x2-x3|
　　右辺｛｝内の平方=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+2(x1-x2)(x2-x3)
　　なので、左辺の｛｝内>=右辺の｛｝内。
　　[]内の比較についても同様。
　・・・ということで、三角不等式を満たします。

Wikipedia「距離空間」によれば、この~dはマンハッタン距離と呼ばれる
もののようですね。

お礼

丁寧に書いていただき、本当にありがとうございました。゜(゜PД`q゜)゜。

回答No.2

Tacosan

それ全体で「1つの記号」です. 特に意味はありません. ま, 結局のところ「距離の一種」なので distance の d を使ったということでしょう.
というか, 記号の意味を聞くなら問題を出した人に聞くべきではなかろうか. 赤の他人に聞いたところでしょせん推測でしかないんだし.

回答No.1

Tacosan

特段説明を要することもなく, 淡々と示すだけですね. ここに書くほどのこともない.

補足

補足質問させてください。~dとはどういう意味ですか？