締切済み

多変数関数

2008/09/24 17:46

EをR×Rの空でない部分集合とし、R×Rの元xとEとの距離を d(x,E)=inf{｜x-y｜:yはEの元} と定義する。ただし、｜x｜=√x1^2+x2^2(x=(x1,x2))である。このとき、 φ(x)=d(x,E)はR×R上で一様連続であることを示せ。という問題です。どうしてもよくわかりません。よろしくお願いします！！

numagi
お礼率0% (0/1)

数学・算数
回答数1
ありがとう数0

みんなの回答 （1）
専門家の回答

みんなの回答

hugen
ベストアンサー率23% (56/237)

2008/09/24 21:58 回答No.1

|d(p,A)-d(q ,A)|≦d(p,q)

関連するQ&A

ユークリッド平面と連続開写像

「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)＝x1 このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか？また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか？宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------- X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2 そうだとすると √(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} だから ∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε fは連続である。 fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。 ∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。 ∴fはR2からR1への連続開写像である。 ----------------------------------------------------------------
この問題について教えてください!

この問題について教えてください! dで通常のR^2上の距離を表すことにする。以下で定義された写像~d：R^2×R^2→Rが、距離の性質を満たすことを示せ。 ~d((x1,y1),(x2,y2)):=|x1-y1|+|x2-y2| for (x1,y1),(x2,y2)∈R^2 よろしくお願いします。
大学数学（位相数学）の問題です

距離空間(X,d)において、点x∈Xから空でない部分集合A⊂Xまでの距離dist(x,A)をdist(x,A)=inf｛d(x,a):a∈A｝と定義する。これについて (1)不等式|dist(x,A)-dist(y,A)|≦d(x,y)を証明しなさい。 (2)点xが集合Aの内点であるためにはdist(x,X/A)>0となることが必要かつ十分であることを証明しなさい。この問題が分かりません。詳しい答えお願いします。
位相

Xは非空の集合である。次の定義によって与えられているd:X×X→Rは距離である。　　d(x,y)=0 (x＝yの時) 　　d(x,y)=1 (x≠yの時) dをX上の離散距離とする。このとき、dによって定まる距離位相Tは、X上の離散位相(T=P(X)パワーセット)であることを示せ。疑問I この問題で、まず、任意のXの部分集合Gがｄのもとで開集合になっていることを示せばいいかなと思いました。 (1)G＝φのとき　これは定義から、開集合です。 (2)G≠φのとき　Gの中に開球が作れればいいんですよね？？　でも分かりません。疑問II (1)(2)が示せたら、dによって定まる距離位相Tは、X上の離散位相(T=P(X)パワーセット)をどのように導くか分かりません。この2つの質問に誰か答えてください！！
距離関数であることの証明

(・|・)をR^3の標準内積であるとし、S^2={p∈R^3:(p|p)=1}とおく。d:S^2*S2→Rを d(p,q)=arccos(p|q)　(p,q∈S^2) で定義する。このとき、dはS^2上の距離関数であるか。・・ということを示す問題なのですが、 (距離関数のdef.) S^2:集合 d:S^2*S2→RがX上の距離関数 (D1)d(x,y)≧0 (D2)d(x,y)=0⇔x=y (D3)d(x,y)=d(y,x) (D4)d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z) これについて考えればよいとは思うのですが、どのように式変形すればよいのかわかりません。回答よろしくお願いします。
多変数関数の積分法

・多変数関数の積分法の問題です。写真のp215の例題5.5.1は、x^2+y^2=1が不連続点ですが、x^2+y^2<1なので、写真のp215の例題5.5.1の「解」のような解き方はせずに、広義積分ということは一切考えずに、 ∫∫ 1/ √ (1-x^2-y^2) dxdy ,Ω=｛(x,y);x^2+y^2＜1｝ =∬[D]r/√(1－r²)drdθ =∫[0,2π]dθ∫[0,1]r/√(1－r²)dr という記述の仕方でも減点はされないでしょうか？・また、写真のp218の3.(1)と(2)は、不連続点が原点なので、D'は、n≦x≦1,n≦y≦1とするのでしょうか？
確率変数について

【問題】離散型確率変数X,Yの分布がP(X = xi) = pi, P(Y = yi) = qi (i = 1,2)であるとき, E(X + Y) = E(X) + E(Y)を示せ. 【自分なりの解答】 P(X = xi and Y = yj) = rijとする. ゆえにpi = ri1 + ri2 かつ, qi = r1i + r2iである. E(X + Y) = (x1 + y1)r11 + (x1 + y2)r12 = (x2 + y1)r21 + (x2 + y2)r22 = x1(r11 + r12) + x2(r21 + r22) = y1(r11 + r21) + y2(r12 + r22) = x1p1 + x2p2 + y1q1 + y2q2 = (x1p1 + x2p2) + (y1q1 + y2q2) = E(X) + E(Y) 【質問】この解答は P(X = xi and Y = yj) = rijと仮定した時に, pi = ri1 + ri2かつ, qi = r1i + r2iであることを大前提にして問題を解いています.でもこの大前提がなぜ成立するのかが,上手に表現(証明)できません.何かアドバイスをいただけないでしょうか？よろしくお願いします.
距離と位相

x,y,zが数直線上にならんでいます。d(x,y)=d(y,z)=1, d(x,z)=2という感じです。つまり、それぞれ一ずつ離れて、x,y,zの順番でならんでいることになります。定義域のほうも通常のRでけっこうです。通常のRの距離を考えて、ここから開集合、位相を導入します。このときの位相はつぎのようなものでよいのでしょうか。 (x),　(y),　(z),　(x,y),　(y,z)　(x,y,z)と空集合。ごく初等的な例で、距離と位相の関係をつかみたく思います。当方文系ですので、上記で誤っていた場合ですが、どこが違うのかなるだけ初等的にご説明いただければ幸いです。どの点についても、うまく開球をとれば当該集合に含まれるという開集合の定義が焦点だと思います。この開集合の理解があっていれば、間違っていないように思いますが、自信はありません。
dで通常のR^2上の距離を表すことにする。

dで通常のR^2上の距離を表すことにする。任意の(x1,y1)、(x2,y2)∈R^2に対して、 (1/√2)~d((x1,y1),(x2,y2))≦d((x1,y1),(x2,y2))≦~d((x1,y1),(x2,y2)) が成り立つことを示せ。という問題についてなのですが、 d((x1,y1),(x2,y2))≦~d((x1,y1),(x2,y2)) の部分の比較の仕方がわかりません。 ~d((x1,y1),(x2,y2)):=|x1-x2|+|y1-y2|　for　(x1,y1),(x2,y2)∈R^2 が距離の性質（非負性、非退化性、対称性、三角不等式）を満たすことは分かっています。長くなってしまいましたが、回答よろしくお願いします。
このような関数が可測関数である事の証明がわかりませ

宜しくお願いいたします。 B(C)を複素数体C上のボレルσ集合体を表すものとします。更にE,F∈B(C),p∈F,f:E×F→Cは(E＼N)×Fで連続とし(Nは零集合),fはpで偏微分可能とします。 g:E→[0,+∞)をE∋∀x→g(x):=sup{|(f(x,y)-f(x,y_0))/(y-y_0)|∈R;y∈F}と定義します。この時,gは可測関数である事を証明するにはどうすればいいでしょうか?
二変数関数微分

極座標変換をしてからx=rcosθ,y=rsinθにすればわかりやすいときいたんですがちょっと分からない問題がいくつかあるのでアドバイスお願いします。 (1)極限が存在するかどうか調べよ lim((x,y)→(0,0)) xylog(x^2+y^2) (2)原点における連続性、偏微分可能性、微分可能性を求めよ。 f(x,y)=xysin(1/√(x^2+y^2))・・・((x,y)≠(0,0)) 　　　　0・・・((x,y)=(0,0)) です。１は極座標でやってみたのですが log rが残ってr→0にするとその部分がどうなるのかわからなくなってしまいました。２は微分可能の定義より f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+α√(h^2+k^2) で f(x+a,y+b)=√(1-a^2-b^2)-ax/√(1-a^2-b^2)-bx/√(1-a^2-b^2)+α√(a^2+b^2) よりαが存在するから微分可能。よって連続、偏微分も可能である。という解答でいいのでしょうか？自分的にはちょっと違うような気もするので教えて下さい。
わかりません！集合と位相

集合と位相についての質問です。問　Xを空でない集合、関数d:X×X→Rを　　d(x,y)＝{1(x≠y) 　　　　　　 0(x＝y) 　　で定義する。このとき、dはX上の距離関数になることを示せ。　　また、Xの点xに対してN(x;0.5),N(x;1),N(x;2)をそれぞれ求めよ。一応ここまでは解けたのですが、問　上の問よりdから定まる開集合をθとする。　　このとき∀M⊂Xに対して、M∈θとなることを示せ。この追加の問題がよくわかりません。解答、アドバイス、なんでもいいので出来るだけ早めに回答をお願いします。初めてなので読みにくいかもしれませんが宜しくお願いします。
数学の距離空間について。

Xを任意の集合とし、ｄ（x,y）＝０（x＝ｙ）、１（x≠ｙ）で、関数d：X　×　X　→Ｒを定める。 Xの任意の部分集合は距離ｄに関して開集合、閉集合であることを示せ。特に、一点である｛x｝、x ∈Xは開集合である。という問題がわかりません。ご指導よろしくお願いします。
開集合の定義が分かりません

ＶをＲの部分集合とおく。０に限りなく近いが０じゃない非負の値をαとする。Ｖに含まれる任意の元xに対して、 0<ε＝αとおくとxのα-開近傍＝{y∈Ｒ｜d(x, y)<α｝＝x∈Ｖ⊂ＶよってＶは開集合なのだと思うのですがＶ＝[0, 1]でも成り立つと思います。開集合の定義を具体的に教えてくれませんか？
位相の問題です

（R^n,d)を距離空間としＡとＢをR^2の部分集合とする。ＡとＢに対して、集合Ａ+Ｂを　Ａ+Ｂ＝｛a+b|a∈Ａ，b∈Ｂ｝で定義し、Ａの点aとＢに対して、集合a+Bを　 a+Ｂ＝｛a+b|a∈Ａ，b∈Ｂ｝で定義する。このとき次の問いに答えよ。ただしR^nの２点x=（x1,x2,…,xn) y=（y1,y2,…,yn)に対して d(x,y)={Σ(xi-yi)^2}^1/2　とする。（１）Rの点xに対して,ｘの近傍をN(x,ε)で表すときN(x+y,ε)=x+N(y,ε）を証明せよ。（２）ＢがR^nの開集合であるとき集合A+BもR^nの開集合であることを証明せよ。（３）ＡがR^nの閉集合、B={b1,b2,…,bn}であるとき、集合Ａ+ＢがR^nの閉集合であることを　　　証明せよという以上の問題なのですが、（１）はイメージできるのですが証明がうまくいきません。（２）（３）はさっぱりです。どなたか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
位相です

＜X,d1＞,＜Y,d2＞をともに距離空間とする。d1が離散距離ならば、任意の関数ｆ：X→Yが連続であることを示せ。ここで、 d1,d2により定まるX,Y上の距離位相を、それぞれT1,T2とする。距離位相の定義から、距離ｄのもとでの開集合と、距離位相Tのもとでの開集合は一致するから、ｆは連続になりますよね？？でも、このことをうまく、数学的に記述して、答えることができません。だれか、教えてください！！
2変数関数の広義積分の問題です

D=｛(x,y)｜0≦x、0≦y｝、∫D xye^｛(-x^2)(-y^2)｝ dxdy という式があります。まず、S=｛(x,y)｜0≦x≦n、0≦y≦n｝として、yについて部分積分をしてみたんですが、 e^(-x^2)の係数が1/0となってしまいました・・・いきなり部分積分をすると解けない問題なんでしょうか？
連続関数の拡張

一次元だとやさしすぎますが、一般のR^dの閉集合F上での連続関数fが与えられたときそれをR^dの連続関数に拡張することはできますか？できるとすればどうすればよいでしょうか。なお境界点xでfが連続とは任意のε>0に対してxの近傍B_εが存在して、 y∈B_ε∩F ⇒ |f(x)-f(y)|<ε を満たすこととします。
濃度の問についてご教授願います。

(1)は途中まで解いてみました。(2)(3)はどのように証明してゆけばよいのでしょうか？お願いいたします。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　問題　集合Ｘの濃度を♯Ｘであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ＝0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}＝１である。集合Ｘから集合Ｙへの写像全体の集合をＹ^Ｘと表す。更に、濃度のべき乗〖(♯Ｙ)〗^(♯Ｘ)を♯〖(Ｙ〗^Ｘ)と定義する。以下の問いに答えよ。 (1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２かつ♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２ならば、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)＝〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)を証明せよ。 (2)０^(♯Ｘ)を求めよ。 (3)特に、０⁰を求めよ。＜解答＞ (1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２より、ｆという全単射が存在。♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２より、ｇという全単射が存在。(仮定より) また、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)よりｈという写像がおける。〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)より、iという写像がおける。(示すべきものより) 　これより、 Φ：〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)→〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂) 　が全単射であることを言えばよいと分るのですが、「全射をどのようにして、定義にもちこむか、単射をどのようにして、定義にもちこむか」が不明です。お願いします。　(※ｈ＝ｇ⁻¹◦i◦ｆ、ｉ=(g)◦ｈ◦ｆ⁻¹と表せますが、何か使えますでしょうか)
集合、濃度の問題について教えてください。

　(１)は解決できました。(２)、(３)の考え方と解法がつかめません。よろしくお願いします。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　問題　集合Ｘの濃度を♯Ｘであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ＝0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}＝１である。集合Ｘから集合Ｙへの写像全体の集合をＹ^Ｘと表す。更に、濃度のべき乗〖(♯Ｙ)〗^(♯Ｘ)を♯(Ｙ^Ｘ)と定義する。以下の問いに答えよ。 (1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２かつ♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２ならば、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)＝〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)を証明せよ。 (2)０^(♯Ｘ)を求めよ。 (3)特に、０⁰を求めよ。 (２)について、０^(♯Ｘ)は、問題文の定義より、♯(Φ^Ｘ)と書き表せます。ただ、∮；Ｘ→Φという写像の全射かつ単射を示すにはどうすればよいでしょうか？また、どのような答えにいきつくのでしょうか？ (３)については、０しか含まない集合Ｚから０しか含まない集合Ｗという写像kを考えて、全単射がわかるという形で大丈夫でしょうか？ ※(1)は以下のようになりました。　♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２より、ｆという全単射(ｆ；X₁→X₂)が存在。　　♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２より、ｇという全単射(ｇ；Y₁→Y₂)が存在。(仮定より) 　ゆえに Φ：(Ｙ₁)^(Ｘ₁)→(Ｙ₂)^(Ｘ₂) と置き、全単射が存在すればいい。　Φが全単射で示された。

多変数関数

みんなの回答

関連するQ&A

ユークリッド平面と連続開写像

この問題について教えてください!

大学数学（位相数学）の問題です

位相

距離関数であることの証明

多変数関数の積分法

確率変数について

距離と位相

dで通常のR^2上の距離を表すことにする。

このような関数が可測関数である事の証明がわかりませ

二変数関数微分

わかりません！集合と位相

数学の距離空間について。

開集合の定義が分かりません

位相の問題です

位相です

2変数関数の広義積分の問題です

連続関数の拡張

濃度の問についてご教授願います。

集合、濃度の問題について教えてください。

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

多変数関数

みんなの回答

関連するQ&A

ユークリッド平面と連続開写像

この問題について教えてください!

大学数学（位相数学）の問題です

位相

距離関数であることの証明

多変数関数の積分法

確率変数について

距離と位相

dで通常のR^2上の距離を表すことにする。

このような関数が可測関数である事の証明がわかりませ

二変数関数微分

わかりません！集合と位相

数学の距離空間について。

開集合の定義が分かりません

位相の問題です

位相です

2変数関数の広義積分の問題です

連続関数の拡張

濃度の問についてご教授願います。

集合、濃度の問題について教えてください。

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録