波動方程式のグリーン関数とフーリエ変換について。

質問

波動方程式のグリーン関数とフーリエ変換について。

非同次波動方程式のグリーン関数を求める過程で次のようなFourier積分,
[∞,-∞]dω e^(-iωt)/(ω^2-(ck)^2)
を求めるのですが特異点ω=±ckの対処の仕方について疑問があります。

１.そもそもこの積分は定義されるのか。いわゆる主値積分と考えていいのか。
２.参考書には特異点まわりに半径ｒの小半円をとってｒ→０の極限をとる方法と、
　特異点に微小量ｉεを加えて特異点をずらす方法がのっています。これらは同じことを
　意味するのでしょうか。
３．経路をずらすやり方だと４種類考えられると思うのですがすべて同じ結果になりました。いずれも
　小半円の寄与が残ってしまい、特異点をずらす方法の答え（こちらのほうは因果律を見たす解が得ら
　れました）と一致しません。これは何を意味するのでしょうか。

長々と質問しましたが、よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

１．
考えて良いと思います。
当該積分の範囲を[-∞,-ck-ε1]、[-ck+ε2,ck-ε3],[ck+ε4,+∞]
に分けて,特異点ω=±ckを避けるようにし,ε1～ε4を独立に0に
近付けると,積分値は極限操作如何に依存し確定的な値とならない
が、ある拘束条件を付けて極限をとると積分値が確定値をとる
場合がある、ということなので。
　※参考資料２（後述）pp10-16を参照ください。

２．
主値積分を求めようとする点では同じと思いますが，確定値をとる
かどうかは、前述の通り、極限操作如何ということになります。
複素積分を用いる方法をとった場合では，どの特異点を含む周回
積分を考えるかによって積分値が異なることになりますが、
ご指摘の前者の方法＆後者の方法で、特異点の含み方が同じような
積分経路（向き）であれば、同じ積分値を得ることになると思います。

３．
・（小半円をとることにより）経路をずらすやり方の場合、
　tの正負も考え合わせると，±πiexp(±i(ck)t)/(ck)（複合任意）
　等の値をとるようです。値が複数とりうるのは、２．の記載
　ゆえの結果です。なおｒ→0の極限をとることから，rを含まない
　結果となりました。
　※参考資料１（後述）pp9-13を参照ください。
・他方，特異点をずらすやり方については、，
　積分I=?[C]dωe^(-iωt)/(ω^2-(ck)^2±iε)に対し，ε→0を
　考える事かと思いますので、経路Cが、±iεをおりこんだ特異点
　をどう含むかによりますので、経路をずらすやり方と同様に，
　±πiexp(±i(ck)t)/(ck)（複合任意）等の値をとるようです。
　２．で記したように，積分経路次第では両方法で積分値が一致
　しました。
　※参考資料２（後述）pp10-16を参照ください。

[参考資料]
１　http://www4.atpages.jp/redmagic/appliedmathematics/green%27s%20function.pdf
２　http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Green_1.pdf

お礼

ありがとうございます。私も主値積分とか定義をしっかりと
把握せず計算法ばかり見ているのがよくないのかもしれません。
参考サイトを拝見しました。
私もほぼ同じように計算しているのですが、小半円部分の
積分がどうしても残ってしまいます。
積分の定義とかフーリエ変換の定義とかの問題なのでしょうか。

↓で再び質問させていただきました。
http://okwave.jp/qa/q5956362.html