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グリーン関数の微分方程式について

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お礼率 100% (1/1)

いつもお世話になっております。
流体力学のグリーン関数の導出、式(2)についてご指南願います。


図1に示すようにZが水面より下でζより大きい場合は領域I、ζより小さい場合に領域IIとした時に
領域Iで成立する解をG1、領域IIで成立する解をG2、全領域で成立する解をGとした時に
式(2)’の導出がどうしても分かりません。
(領域Iでは式(1)と(2)、領域IIでは式(1)と(3)を満たす)

なお、G1とG2はそれぞれZ=ζを含まないので式(1)の右辺のδ関数のところはゼロとし計算できる為、2階線形常微分方程式により未定係数を2個含んだ一般解として式(1)'が求められます。(ここまでは自力で計算できました)

式(2)では変数分離法を使いG1を求めましたが解が式(2)'の様になりませんでした。
どなたか分かる方は導出方法について教えて頂けますでしょうか。

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  • 回答No.1

ベストアンサー率 44% (4218/9520)

数学・算数 カテゴリマスター
(1)' G=C1*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z)
だから
dG/dz=C1*|κ|*exp(|κ|z)-C2*|κ|*exp(-|κ|z)
したがって
dG/dz-KG
=C1*|κ|*exp(|κ|z)-C2*|κ|*exp(-|κ|z)-K(C1*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z))=0 (on z=0)
=C1*|κ|-C2*|κ|-K(C1+C2)=0
これより
C1*(|κ|-K)-C2*(|κ|+K)=0
となるので
C1=C2*(|κ|+K)/(|κ|-K)=C2*(2|κ|/(|κ|-K)-1)
これを(1)' G=C1*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z)に代入すると
G2=C2*(2|κ|/(|κ|-K)-1)*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z)
G2=C2*(exp(-|κ|z)-exp(|κ|z)+(2|κ|/(|κ|-K))*exp(|κ|z))
お礼コメント
pleiades0904

お礼率 100% (1/1)

早速のお返事ありがとうございます。
大変勉強になりましたm(_ _)m
投稿日時 - 2019-04-19 22:49:23
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