アイゼンシュタインの定理の問題です。

質問

アイゼンシュタインの定理の問題です。

ｆ(x)=ａ0x^n+ａ1x^(n-1)+‥‥+ａn∈Ｚ[x]がある素数に対して、ａ0は素数でなく、ａ1～ａnは素数で、p^2はａnでないとき、ｆ(ａ)はＺ[x]で既約になることを示してください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

その命題は、それ自体がアイゼンシュタインの定理ではないし、
アイゼンシュタインの定理を適用して証明できる形もしていない。
参考↓
http://www5f.biglobe.ne.jp/~inamoto/math/GaloisTheory/Eisenstein.pdf

そもそも、反例がある。
f(x) = -6x^3 + 2x^2 + 2x + 2 は、素数 p = 2 に対して、
a0 = -6 は素数でなく、a1 ～ a3 = 2 が素数で、a3 は 4 でない
にも関わらず、
f(x) = (-2)(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) であって、Z[x] で既約でない。