陰関数のパラメータ表示について

質問

(y-x^2)^2=y^3*x のパラメータ表示はx=t^2/(1+t^3), y=t^4/(1+t^3) となるとのことですが、何か定式化された求め方があるのでしょうか？

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

(y-x^2)^2 = y^3*x の両辺を x^4 で割り、
{ y/(x^2) - 1 }^2 = (y/x)^3
となる。
これは f^2 = g^3 の形なので、左辺の中括弧内を t^3、右辺の括弧内を t^2 と置け、
y/(x^2) - 1 = t^3 ・・・(1)
y/x = t^2 ・・・(2)
である。
(2)より y = x * t^2 なので、これを(1)に代入し x について解けば、x = t^2/(1+t^3) が導かれ、よって y = t^4/(1+t^3) も分かる。

なお、多分御存知だろうがパラメータ表示の求め方には一般的な方法がない。
この解き方も、「定式化された」というよりは「経験と勘により導かれた」というものの方が大きいような気がする。
とりあえず今回の教訓としては、「f^a = g^b のような比較しやすい形に変形できないか試みる」ということを覚えておきたい。

お礼

有り難うございました。先生の御回答を拝見し、私自身もう少し良く考えるべきだったと反省しております。実は、アーベル積分に絡む問題で、具体的計算がわかりませんでした。お陰様でスッキリしました。