媒介変数表示→陰関数表示

質問

例えばリサージュ曲線で、
x=sin3t
y=sin5t
という媒介変数表示されたもので
媒介変数tを消去してxとyだけで表す
具体的な方法が分かりません。
上のリサージュに関しては、チェビシェフの多項式（sinヴァージョン）を利用して、
sin3t=-4(sint)^3+3sint=U_3(sint)
sin5t=16(sint)^5-20(sint)^3+5sint=U_5(sint)
とすれば、求めるグラフの方程式は
U_5(x)=U_3(y)
（具体的には16x^5-20x^3+5x=-4y^3+3y）
で出るのですが…。
リサージュ曲線だけに限ったことでもかまいません。
どうしてこのような操作で出来るのでしょうか？
また、一般的な方法があるのならば、それもご教授いただけると幸いです。

回答No.4

stomachman

チェビシェフの直交多項式Tn(x)が直交関数系であるのは、「普通」とはちょっと違う内積を使ったときでしょ？
　どういう内積かといえば、x,yの二つのパラメータを持つ３Dグラフを考えて「「x y 平面上の単位円を(x,y) = (cosθ, sinθ）とするとき、その円周上で定義される関数z=f(θ）に関する普通の内積」を「y=0の平面に投影したもの」に他なりません。
　こう考えると、Tnの直交性は単に円周上の三角関数sin(n θ)の直交性をヨコから(i.e., y=0に投影して)眺めただけ、ということになります。

　結局Tn(x)は「単位円の円周上に三角関数z = sin(nθ)を乗せて、これをy=0の平面に投影したもの」、つまり
Tn(x) = z = sin(n Arcsin(x))
ですから、Tnは「n倍角公式そのもの」。
T5(x)=sin(5 Arcsin(x))
T3(y)=sin(3 Arcsin(y))
である。
5Arcsin(x) = 3Arcsin(y)
ならばすんなり行くのは当たり前、ってこってすね。

　先刻ご承知かもしれないけど、Tn(x)は多項式なんで、|x|＞1でも定義されますが、これはsin, Arcsinでは書けないけれど、sinh, arcsinhを使えば書けますね。

回答No.3

chiezo2005

＃１です。

以下のホームページにチェビシェフ多項式は可換であるとの記載がありました。

証明はどうするのかわかりません。

参考URL：

http://mns2.c.u-tokyo.ac.jp/q-chaos/abst-j.html

お礼

次いでお礼です。
何回も投稿していただいてありがとうございます。
実は私「数学部」なる、端から見れば至極怪しい部活に所属しているのですが、
今回大学受験問題集を出すことになって、
チェビシェフを題材に１問作ってみようと思ったのですが、
リサージュと絡めたとたんに私的な興味が湧いてしまって、
今回のような質問をさせていただきました。
計画としてはリサージュの媒介変数表示を陰関数表示にするものを
作ろうと思ったのですが、
如何せん自分が分からないということになってしまったということです。

もう少し締め切りを待ってみます。

補足

先ずは補足、というか自分の現状を詳細に語りますと、
三角関数の逆関数には定義域がありますよね。
それに関しては厳密に言及する必要はないのかな？と思ったんです。
No.1みたいに、逆関数をとって、媒介変数を消してっから
もう一回逆関数をとるという方法は考えたんです。
そこで出てきた問題は、
１つは先に言った三角関数の逆関数の定義域に関して。
もう１つはx=f(t)、y=g(t)でそれぞれで逆関数をとる
t=f^-1(x)、t=g^-1(y)という操作と
f^-1(x)=g^-1(y)をf(y)=g(x)とする操作が
同様の意味を持つということが自力で証明できなかった
というものです。
簡単な関数でy=tみたいにすれば一目瞭然なのですが、
一般的な証明が出来ませんでして。
ということです。

まだ高３なんで「武器」が足りなかったというかんじです。

回答No.2

chiezo2005

＃１です。
とりあえず，力ずくで計算したら
３次と５次のチェビシェフ多項式は可換ですね。
だから
U_5(x)=U_3(y)
とかけるんですね。
一般的にチェビシェフ多項式が可換かどうかちょっと調べてみましたが，わかりませんでした。
申し訳ない。

回答No.1

chiezo2005

ようは媒介変数tを2つの式から消去すればよいだけです。
上記の問題の場合は
極端な話

arcsin(y)/5=arcsin(x)/3

でも答えになっているような気がしますが，
それではあんまりだというので，x,yの定義式に含まれるsin(t)に着目してsin(t)を消去したということです。

一般に媒介変数表示したほうがわかりやすい関数の場合，媒介変数を消せといわれたら，
それぞれの定義式をよく見比べて，tとして消すしかないか？
両方の定義式が同じｔの関数としてかけないか？
もしかけそうなｔの関数f(t)があればそれについて
それぞれの関数を表示してみます。
x=Q(f(t))
y=P(f(t))
とかけたとします。
すると
f(t)=Q^(-1)(x)
f(t)=P^(-1)(y)
と書けます。（Q^(-1)はQの逆関数です）
これからf(t)を消去すると
Q^(-1)(x)=P^(-1)(y)
逆関数をもとに戻すと
x=Q(P^(-1)(y)）
両辺をP()に代入して
P(x)=P(Q(P^(-1)(y)))
ここでPとQの関数が可換つまり
P(Q(z))＝Q(P(z)）
ならば
P(x)=Q(P(P^(-1)(y)）＝Q(y)
と書けます。
問題は可換かどうかですが・・・
チェビシェフって可換だっけ？
あれ，わかんなくなっちゃった・・・
出直します。