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教えてください
各辺が1メートルのガラスの立方体のタンクの中に水が半分入った状態で、水平のテーブルの上に置かれている。このタンクを30度傾けたときの水の深さを求めよ。 ずっと考えているのですがわかりません！ 教えてください！
- solution64
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- alice_44
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No.4 の導きかた: (cosθ, sinθ, 0) 方向を軸とする 30゜回転は、 xy平面内での θ 回転を表す行列 P = cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 xz平面内での 30゜回転を表す行列 R = cos30゜ 0 sin30゜ 0 1 0 -sin30゜ 0 cos30゜ を使って、 行列積 PR(Pの逆行列) で表される一次変換になる。 立方体の中心に原点を置くと、 底面の四隅の座標を表す列ベクトル を並べた行列は、V = 1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 と書ける。 30゜傾けた後の四頂点の座標は、 PR(Pの逆行列)V の各列で表される。 これを計算して、z座標を見ると、 (1/2)｛ -(cos30゜)+(sin30゜)(±cosθ±sinθ) ｝ となっている。 この四個の値の中で、一番負のものの絶対値が 「深さ」となる。 0≦θ＜90゜で考えればよいから、 (1/2)｛ (cos30゜)+(sin30゜)(cosθ＋sinθ) ｝ が答え。
お礼
行列ですか！ 高校生の知識でも解けるんですね！ 詳しい解説ありがとうございます！
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
底面正方形の一辺に対して角θを成すような 底面に平行な直線のひとつを回転軸として、 角π/6 だけ傾ける。 対称性から、θは 0～π/2 で考えてよい。 このとき、(計算過程は長くなるので省略するが、) タンクの水深は、 ｛ (√3) + (√2) sin(θ + π/4) ｝/ 4 。
- htms42
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＃１です。 １つの辺をテーブルに接した状態で傾けていると考えました。 ３０°という一つの角度で姿勢が決まるのはこの時だけだからです。 （頂点だけでテーブルに接している場合であれば角度が２つ必要です。） 横から見れば正方形です。 初め正方形の半分のところまで水が入っていたのですからそこに線を入れます。傾けても水面は水平です。面積は変わりません。水面の線を入れると正方形の中心で交わります。 図が描けるはずです。正方形の頂点を通る鉛直線を引けば深さがわかります。 あとはご自分でやって下さい。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
30度って言っても、どっちへ傾けるかによって深さは変わると思う。 まぁ大抵は底面の１辺をテーブルに接したまま傾けるんだろうけど。
- htms42
- ベストアンサー率47% (1120/2361)
図を描けば分かります。 水の量は変わりません。 横から見た場合でいえば面積が変わらないという条件です。
補足
その図がうまくかけないために分からないのかもしれません。
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