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原始関数を教えて下さい。

sqrt(a^2+x^2)の積分された形教えて下さい。また、その際どのように置換するのかも教えて下さい。

質問者が選んだベストアンサー

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  • mmky
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回答No.2

参考程度に ∫√(x^2+a^2)dx =(1/2){x√(x^2+a^2)+a^2log(x+√(x^2+a^2))} √(x^2+a^2)=x+t , (x-t. t-x, でも良い)と置けば x^2+a^2=x^2+2xt+t^2 x=(-t^2+a^2)/2t, dx={(-t^2-a^2)/2t^2}dt √(x^2+a^2)=(-t^2+a^2)/2t +t=(t^2+a^2)/2t で置換できますので、解けますね。 すこし整理が面倒なので、公式として覚えておくほうがいいでしょうね。

その他の回答 (2)

回答No.3

ichiro0000さん、こんばんは。 sqrt(a^2+x^2)=√(a^2+x^2) ですね。このような関数を積分するには、 x+√(x^2+a^2)=t とおくのが有効です。 (参考)√(a^2-x^2)の場合は、x=asinθ  とおくのが有効です。 さて、 x+√(x^2+a^2)=t √(x^2+a^2)=t-x 両辺2乗すると、 x^2+a^2=t^2-2tx+x^2 2tx=t^2-a^2 x=(t^2-a^2)/2t と書けます。 そこで、dx={(t^2+a^2)/2t^2}dt となるので、 ∫√(x^2+a^2)dx=∫(t-x){(t^2+a^2)/2t^2}dt =∫{(t^2+a^2)/2t}dt-∫{(t^2-a^2)/2t}{(t^2+a^2)/2t^2}dt =1/2∫(t+a^2/t)dt-1/4∫{(t^4-a^4)t^3}dt =t^2/4+a^2/2log|t|-1/4∫tdt+a^4/4∫t^(-3)dt =t^2/8+a^2/2log|t|-a^4/8t^2+C =1/8(t^2-a^4/t^2)+a^2/2log|t|+C また、t-a^2/t=2x,t+a^2/t=2√(x^2+a^2) なので、t^2-a^4/t^2=4x√(x^2+a^2) ここで、t=x+√(x^2+a^2)と置いたので、 (与式)=(1/2)x√(x^2+a^2)+a^2/2log|x+√(x^2+a^2)|+C のようになります。 ややこしいですが、解き方は覚えておかれると便利です。 頑張ってください。

  • ONEONE
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回答No.1

x=atanθで置換すると それが(a/cosθ)^2となって√が外れて・・・

ichiro0000
質問者

お礼

有難うございました。自分でやってみると確かにできました。

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