数学の問題解法お願いします。

質問

数学の問題解法お願いします。
大学受験真っ只中です。
昨日の受験校で以下の問題ができませんでした。
次の受験校のためにも、できなかった問題をマスターしておきたいのですが、予備校は終了しており、すぐに質問できる先生がいません。
よろしくお願いします！

１から９の数字が書かれたカードが１枚ずつ入った袋と以下のように、３行３列の９個のマスに、１から９の数字が書いてあるマスがある。
　　　　１　２　３
　　　　４　５　６
　　　　７　８　９
袋からカードを１枚取り出し、その数字と同じマス目を塗りつぶすという操作を行う。
取り出したカードは袋に戻さず操作を行い、縦・横・ななめのいずれか３マスが塗りつぶされたときに操作を終了するものとする。
例えばカードを1,5,4の順にとりだした時、操作は終了せず、次に6,7,9のいずれのカードを取り出すと操作は4回で終了する。カードを取り出す確率はどのカードも等しいものとする。
（１）3回の操作で終了する確率を求めよ。
（２）4回の操作で終了する確率を求めよ。
（３）7回の操作で終了する確率を求めよ。
（４）5回以下の操作で終了する確率を求めよ。また、5回の操作で終了する確率を求めよ。

回答No.6

Ishiwara · ベストアンサー

ANo.4;ANo.5です。
たいへん失礼をいたしました。大学入試でこんなややこしい問題が出るはずはない、と思って、よく見直したところ、非常に簡単な解法を見つけました。

3個を置く順列は、9P3=9・8・7です。これが総数（確率の分母）です。
一方、完成形はタテ3本、ヨコ3本、ナナメ2本で合計8本しかありません。この8本のそれぞれについて「置く順序」が3P3=6とおりあります。そこで3個で完成する順列は、6・8です。これが分子です。
したがって、求める確率は、6・8/9・8・7=1/21になります。

(2)以下も、きっと簡単な解法があると思います。少しやってみます。

回答No.8

Ishiwara

余談ですが、パソコンでモンテカルロ・シミュレーションをしましたので、検算などにお使いください。
３手で完成： 95545回
４手で完成：285546回
５手で完成：396297回
６手で完成：198732回
７手で完成： 23880回
合計 1000000回

お礼

モンテカルロ・シミュレーション・・よくわかりませんが、受験が落ち着いたら
調べてみます。

本当にありがとうございました。

回答No.7

Ishiwara

ANo.4,5,6です。
(2)ちょうど4手で完成する確率
4手のすべては、9P4=9・8・7・6で、これが分母です。
完成形は(1)と同じく8本あります。そのそれぞれについて：
4個は、完成に関係しない1個を含んでいます。この1個は6個の空き部屋のうち好きなものを使ってよいので、パターン数は3個のみの場合に比べて6倍となり、順列は4P4・6=4・3・2・6となります。
これを8本分数えると、4・3・2・6・8です(この中に重複がないことを吟味する)。
したがって、確率は、(4・3・2・6・8)/(9・8・7・6)=24/63
となります。
しかし、この確率は(1)の答えを含んでいますから「ちょうど4手で完成」とするためには、
(24/63)-(2/21)=2/7
としなければなりません。
それにしても難問ですね。私が受験生だったら時間内に解ける自信はまったくありません。

(3)7回で完成する確率
6回終えたときに、対角線が空いている確率、と言い換えられます。
そこで、(6P6・2)/9P6=1/42

十分に検算していませんが…分母に7の倍数がやたらに出てくるので、こういうのは良い兆候です。

お礼

>それにしても難問ですね。私が受験生だったら時間内に解ける自信はまったくありません。

この言葉に慰められました。
解説していただいて、理解できた今となっては、数学で受験した人は、みんな解けてたんだろ
うなぁ・・と思えてきて、がっくりしていました。

回答No.5

Ishiwara

ANo.4です。
> (1)の56分の…がわかりません。
「1」型というのは、最初のカードが「隅に」入った場合です。
第1のカードが「1」に入ったものとして、第2・第3のカードが入るマスの総順列は、8P2=56です。この56とおりの中で「完成」になる順列は、(23)(32)(59)(95)(47)(74)の6とおりですから、1枚目が隅に入った時点からの完成確率は、6/56となります。したがって、無着手時点から見て「第1手が隅で、かつ3手で完成する確率」は、(4/9)(6/56)となるわけです。
なお、この後の補足質問も、ご遠慮なく。

お礼

理解できました！
基本的なことまで、わかりやすく教えてくださってありがとうございました。

回答No.4

Ishiwara

(1)３回で終わる確率
最初が1型の場合
最初の確率：4/9
次の2回で完成する確率：6/56
最初が2型の場合
最初の確率：4/9
次の2回で完成する確率：4/56
最初が5型の場合
最初の確率：1/9
次の2回で完成する確率：8/56
したがって
(4/9)(6/56)+(4/9)(4/56)+(1/9)(6/56)
=1/21

(2)４回で終わる確率
最初の2回を、1,2型・1,3型・1,5型・1,6型・1,9型・2,4型・2,5型・2.8型に分ける。
それぞれの出現確率は、16/72,8/72,8/72,16/72,4/72,8/72,8/72,4/72
それぞれについてあと２回で完成する確率を求める（方法は(1)と同様）
そして合計する。

(3)７回で終わる確率
６回やっても完成しない状態は、残りマスが対角線になっている場合しかなく、かつ７回目は必ず完成するので、６回のほうからラクに解くことができる。

(4)５回以下で終わる、および５回で終わる確率
６回の場合を先に解決すれば、あとは消去法でできる。

補足

丁寧な解説、ありがとうございます。
申し訳ありませんが、（１）の56分の・・・がわかりません。
教えていただけると助かります。

回答No.3

koko_u_u

>解答が正しいか、わからないのです。

84通りノートに書き出せば、否が応にもわかります。

回答No.2

koko_u_u

>全体の選び方は9C3で８４通り
なるほど、ひとまず力技でも解答が得られそうな数ですね。

>2/21　と答えてきましたが、全く自信がありません。
早速、(1)の解答が正しいかを確認して補足にどうぞ。

補足

解答が正しいか、わからないのです。
すみません・・

回答No.1

koko_u_u

(1)から既にわからん、ということですか？補足にどうぞ。

補足

（１）だけは、当たりのパターンが８通りで、全体の選び方は9C3で８４通り
と考え、2/21　と答えてきましたが、全く自信がありません。
よろしくお願いします。