- ベストアンサー
この数学の問題の答え正しいですか？
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
この問題の解の一般化(カード全枚数n枚)を考えてみました。 2≦r≦nとして、 上からｒ枚目のカードが１回の試行の結果で上から(r-1)枚目に 来る確率をPr(r-1)、r枚目のままとなる確率をPr(r)とします。 一番上から取ったカードを置く場所(戻す場所及び入れる場所)は、 元の場所からn枚目のカードの下までの、全部でn通りあります。 そのカードがr枚目のカードの下からn枚目のカードの下までの (n-r+1)通りの場所に置かれる場合には、r枚目のカードは (r-1)枚目に来るので、その確率Pr(r-1)はPr(r-1)=(n-r+1)/n となります。 一方、そのカードが元の場所から(r-1)枚目のカードの下までの (r-1)通りの場所に置かれる場合には、r枚目のカードはr枚目のまま なので、その確率Pr(r)はPr(r)=(r-1)/nとなります。 最初一番下にあったカード(番号n)がn回の試行を終えたときに 一番上に来ているためには、(n-1)回の試行を終えたときに、その カードは一番上、又は上から二番目に来ていなければなりません。 今、n枚目のカード(番号n)が１回の試行の都度(n-1)枚目、 (n-2)枚目・・・・・と１枚ずつ上に来るとすると、(n-1)回の試行 を終えたときにそのカードは一番上に来ており、そうなる確率を P(1)とすると、P(1)=Pn(n-1)*Pn-1(n-2)*Pn-2(n-3)*・・・*P3(2)*P2(1) =(1/n)*(2/n)*(3/n)*・・・・・*{(n-2)/n}*{(n-1)/n}=(n-1)!/n^(n-1) となります。 次にn枚目のカード(番号n)が上からr枚目になった時は２回の試行で (r-1)枚目となり、r枚目以外では試行の都度１枚ずつ上に来るとすると、 (n-1)回の試行を終えたときにそのカードは上から二枚目に来ており、 そうなる確率をP(2)とすると、 P(2)=∑(r=n→3){Pn(n-1)*P(n-1)(n-2)*・・・*Pr(r)*Pr(r-1)・・・*P3(2)} +Pn(n-1)*P(n-1)(n-2)*Pn-2(n-3)*・・・・・・*P3(2)*P2(2) =∑(r=n→3){(n-1)!/n^(n-1)}*{1/P2(1)}*{Pr(r)} +{(n-1)!/n^(n-1)}*{1/P2(1)}*{P2(2)} =∑(r=n→3){(n-1)!/n^(n-1)}*{n/(n-1)}*{(r-1)/n} +{(n-1)!/n^(n-1)}*{n/(n-1)}*(1/n) =∑(r=n→3){(n-1)!/n^(n-1)}*{(r-1)/(n-1)} +{(n-1)!/n^(n-1)}*{1/(n-1)} ={(n-2)!/n^(n-1)}*∑(r=n→3)(r-1)+{(n-2)!/n^(n-1)} ={(n-2)!/n^(n-1)}*{(n^2-n-2)/2}+{(n-2)!/n^(n-1)} ={(n-2)!/n^(n-1)}*{(n^2-n-2)/2+1}={(n-2)!/n^(n-1)}*{n(n-1)/2} =n!/2n^(n-1) となります。 求める確率は、(n-1)回の試行を終えたときに一番上に来ている番号n のカードがn回目の試行を終えたときも一番上に来ている確率=P(1)*1/n と、(n-1)回の試行を終えたときに上から二番目に来ている番号nのカード がn回目の試行を終えたときに一番上に来ている確率=P(2)*P2(1)の合計 になります。 P(1)*1/n={(n-1)!/n^(n-1)}*(1/n)=(n-1)!/n^n P(2)*P2(1)={n!/2n^(n-1)}*{(n-1)/n}=(n-1)n!/2n^n よって求める確率PはP={(n-1)!/n^n}+{(n-1)n!/2n^n}= {2(n-1)!/2n^n}+{(n-1)n(n-1)!/2n^n}=(n^2-n+2)(n-1)!/2n^nとなります。 因みにn=3とすると P=(3^2-3+2)(3-1)!/2*3^3=(9-1)(2)!/2*27=16/54=8/27となります。 又、P=4では P=(4^2-4+2)(4-1)!/2*4^4=(16-2)(3)!/2*256=14*6/(2*256)=42/256=21/128 となりました。
その他の回答 (5)
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
済みません。間違えました。ご迷惑をおかけしました。 ANo.4回答者さん、ありがとうございました。 ANo.3に【【・・・】】部分を追加して修正します。 １回目終了時の「４」の位置と確率は 一番下になる確率：３/４ 【【この場合、２回目終了時の「４」の位置と確率は ２回目の試行で上から３番目になる確率：１/４ この場合、３回目終了時の「４」の位置と確率は ３回目の試行で上から２番目になる確率：１/２ この場合、４回目終了時の「４」の位置と確率は ４回目の試行で一番上になる確率：３/４((3/4)*(1/4)*(1/2)*(3/4)=9/128)】】 上から３番目になる確率：１/４・・・(ア) (ア)の場合の２回目終了時の「４」の位置と確率は ２回目の試行で上から３番目になる確率：１/２・・・(イ)（ア*イ=1/8） 〃 上から２番目になる確率：１/２・・・(ウ)（ア*ウ=1/8） (イ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は ３回目の試行で上から２番目になる確率：１/２・・・(エ)（ア*イ*エ=1/16） (ウ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は ３回目の試行で上から２番目になる確率：１/４・・・(オ)（ア*ウ*オ=1/32） 〃 一番上になる確率：３/４：・・・・・・・(カ)（ア*ウ*カ=3/32） 従って、３回目の試行終了時の「４」の位置と確率は 上から２番目になる確率：1/16+1/32=３/３２・・・・・(キ) 一番上になる確率：３/３２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(ク) (キ)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は ４回目の試行で一番上になる確率：３/４・・・・・・・・・(ケ)（キ*ケ=9/128） (ク)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は ４回目の試行で一番上になる確率：１/４・・・・・・・・・(コ)（ク*コ=3/128） よって求める確率＝(9/128)+(3/128)+【【9/128】】=２１/１２８(修正後)になります。
お礼
さらに詳しく解答ありがとうございます。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
>No.3へ >１回目終了時の「４」の位置と確率は >一番下になる確率：３/４ とかかれていますが、この後の展開が抜けていませんか？ このあと、４が一番上に行く場合もありますよ。2回目3回目4回目とも4より下にカードがいけば良い。
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
１回目終了時の「４」の位置と確率は 一番下になる確率：３/４ 上から３番目になる確率：１/４・・・(ア) (ア)の場合の２回目終了時の「４」の位置と確率は ２回目の試行で上から３番目になる確率：１/２・・・(イ)（ア*イ=1/8） 〃 上から２番目になる確率：１/２・・・(ウ)（ア*ウ=1/8） (イ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は ３回目の試行で上から２番目になる確率：１/２・・・(エ)（ア*イ*エ=1/16） (ウ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は ３回目の試行で上から２番目になる確率：１/４・・・(オ)（ア*ウ*オ=1/32） 〃 一番上になる確率：３/４：・・・・・・・(カ)（ア*ウ*カ=3/32） 従って、３回目の試行終了時の「４」の位置と確率は 上から２番目になる確率：1/16+1/32=３/３２・・・・・(キ) 一番上になる確率：３/３２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(ク) (キ)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は ４回目の試行で一番上になる確率：３/４・・・・・・・・・(ケ)（キ*ケ=9/128） (ク)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は ４回目の試行で一番上になる確率：１/４・・・・・・・・・(コ)（ク*コ=3/128） よって求める確率＝(9/128)+(3/128)=12/128=３/３２になります。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
もうちょい大きいと思います。 ４と書かれたカードの位置の状態を考えると次の４種類となります。 状態Ａ：４が上から４番目にある。○○○(4) 状態Ｂ：４が上から３番目にある。○○(4)○ 状態Ｃ：４が上から２番目にある。○(4)○○ 状態Ｄ：４が上から１番目にある。(4)○○○ Ａ→Ｂは１／４の確率で遷移します。同様に Ｂ→Ｃは２／４ Ｃ→Ｄは３／４ ただこれだと３回の試行になってしまいますので、どこかで１回足踏み（同じ状態になること）が必要です。 例えば、Ａ→Ａ ３／４の確率で遷移 または、Ｂ→Ｂ ２／４の確率で遷移 または、Ｃ→Ｃ １／４の確率で遷移 または、Ｄ→Ｄ １／４の確率で遷移 Ｐ(Ａ→Ｂ)・Ｐ(Ｂ→Ｃ)・Ｐ(Ｃ→Ｄ)・(Ｐ(Ａ→Ａ)+Ｐ(Ｂ→Ｂ)+Ｐ(Ｃ→Ｃ)+Ｐ(Ｄ→Ｄ))
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
＞これの答えは、30/２５６＝ １５/１２８ どのようなプロセスを経てその結論に至ったかを説明してくださると、大いに助かります。
関連するQ&A
- この問題の解き方を教えてください。
3枚のカードを積んだ山があり、各カードには、上から順番に１から３まで番号が付けられている。 このカードの山に対して、次の試行を繰り返す。 一回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上に戻すか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという 操作を行う。 これら3通りの操作は、すべて同じ確率であるとする。 3回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード（番号3）が山の一番上に来ている 確率を求めよ。 ちなみに、答えは、８／２７ みたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の、確率の問題です。
１から７までの番号を１つずつ書いた７枚のカードの中から、次のように３枚を選び出すとき、３つの数字の最大値が５である確率をそれぞれ求めなさい。（解説もよろしくお願いします） (1) ３枚を同時に選び出す。 (2) １枚を選び出し、元に戻してからまた１枚選び出す試行を繰り返して、順番に３枚を選び出す。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です…
1・1・2・3・4と数字を記した5枚のカードがある。これらから3枚とって並べ、 3桁の整数をつくるとき、次の問いに答えよ。 (1)-a:異なる整数は全部で何通りあるか。 (1)-b:312以上の整数ができる確率を求めよ。 正八面体の頂点に1～6まで番号をつけてあるとき次の確率を求めよ。 (2)-a:サイコロを2回投げて、出た目の数に対応する2つの頂点を結ぶとき、 それが正八面体の1辺になる確率。 (2)-b:サイコロを3回投げて、出た目の数に対応する3つの頂点を結ぶとき、 三角形ができない確率。 (2)-c:サイコロを3回投げて、出た目の数に対応する3つの頂点を結ぶとき、 直角三角形ができる確率。 答えは、 (1)-a:33通り b:11/13 (2)-a:2/3 b:4/9 c:1/18 これらの問題がわからなくて困ってます。 どなたか、途中式か解説の方よろしくお願いします(>_<)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題解法お願いします。
数学の問題解法お願いします。 大学受験真っ只中です。 昨日の受験校で以下の問題ができませんでした。 次の受験校のためにも、できなかった問題をマスターしておきたいのですが、予備校は終了しており、すぐに質問できる先生がいません。 よろしくお願いします！ １から９の数字が書かれたカードが１枚ずつ入った袋と以下のように、３行３列の９個のマスに、１から９の数字が書いてあるマスがある。 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 袋からカードを１枚取り出し、その数字と同じマス目を塗りつぶすという操作を行う。 取り出したカードは袋に戻さず操作を行い、縦・横・ななめのいずれか３マスが塗りつぶされたときに操作を終了するものとする。 例えばカードを1,5,4の順にとりだした時、操作は終了せず、次に6,7,9のいずれのカードを取り出すと操作は4回で終了する。カードを取り出す確率はどのカードも等しいものとする。 （１）3回の操作で終了する確率を求めよ。 （２）4回の操作で終了する確率を求めよ。 （３）7回の操作で終了する確率を求めよ。 （４）5回以下の操作で終了する確率を求めよ。また、5回の操作で終了する確率を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学 場合の数、確率
場合の数、確率の問題 区別できない8つの玉がある。これを次のように3つの箱に分ける方法はそれぞれ何通りあるか。ただし、1個も入らない箱があってもよい。 （１）3つの箱に区別がないとき （２）3つの箱に区別があるとき （１）で、区別がないので書きだして10通りというのは模範解答にあり、意味も分かりました。 これを使って（２）は、書きだしたそれぞれの入れ方の並べ替え（たとえば 8,0,0 なら3通り）として、総和が45だから45通り これもわかるんですが、この（２）を最初解いたとき、3^8としました。 全然違うのですが、なぜ違うのかが分かりません。 教えてください。 ここから別の問題です。 箱の中に白球、赤球、黒玉がそれぞれ2個ずつ入っている。この箱から1個ずつ球を取り出す操作を何回行い、すべての色の球が取り出されたときに捜査を終了する。 一度取り出した球は箱に戻さないとして、次の問いに答えよ。 （1）4回で操作を終了する確率 （２）5回で操作を終了する確率 （１）の考え方として 4回で操作終了ということは、最初の3回のうちに同じ色の球を2個取るわけです。 2個取る球を色で場合分けしました。 分母 6個の球から3個の球を取り出す方法は6C3だから分母は6C3 分子 同じ球を2個取るのは1通り、残り4つの球から1つ取るから4通り、これらの並べ替えがあるから掛ける3 よって分子は 1*4*3 最後に残り3つの球から上の二色以外の球を取るから2/3を掛ける。 そして、上で求めた確率が色の場合分けより3通りあるから3を掛ける。 としました。 しかし、違いました。 この問題の答えは2/5となるのですが、上のやり方ではなりません。 分子を求めたときに「これらの並べ替えがあるから掛ける3」と書きましたが、これがないと2/5になります。 分かりません。教えてください。 （２）に関しては後ほど捕捉します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の問題です。
この度お世話になります。 高校2年の甥っ子から質問されましたが、解らなくて解けません。 体調不良で確率の講義を全然受けなかったようです。 お忙しい中、下記の問題をわかりやすくご教示お願いします。 問１ 男性A１，・・・，A4，の4人と女性C1，・・・，C4の4人が、横1列に並んだ座席F1，・・・，F８に座る場合を考える。 (1) 同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか？ (2) (1)の座り方の中で、A1の両隣がC1とC2になる座り方は何通りあるか。 (3) (1)の座り方の中で、A1とC1が隣り合わない座り方は何通りあるか。 問２ 正7角形について、次の問いに答えよ。 (1) 対角線の総数を求めよ。 (2) 対角線を2本選ぶ組み合わせは何通りあるか。 (3) 頂点を共有する2本の対角線は何組あるか。 (4) 共有点をもたない2本の対角線は何組あるか。 (5) 正7角形の内部で交わる2本の対角線は何組あるか。 問３ Aが持っている袋の中には赤玉3個と白玉4個が入っており、Bが持っている袋の中には赤玉5個と白玉6個が入っている。AとBのそれぞれが同時に各自の袋の中から無造作に2個ずつ玉を取り出し、玉の色を確かめてから、取りだした玉をそれぞれ元の袋に戻す、という試行を繰り返す。同時に取り出された合計4個の玉の色が全て同じであれば、その時点で試行を終了する。ただし、試行は6回以上行わないとする。 (1) 1回目の試行で、Aの取り出す玉が2個とも赤玉となる確率を求めよ。 (2) 試行が1回で終了する確率を求めよ。 (3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求めよ。 (4) 試行が3回以上続く確率を求めよ。 問４ 1，2，3，4の番号をつけた4枚のカードがある。この中からカードを1枚取り出しそこに書かれている番号を見る、という試行を繰り返す。但し、取り出したカードは元に戻さない。この試行は、取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になるか、又は4枚全部を取り出した時に終了する。 取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になった時、この試行は成功したと呼ぶ。4枚全部を取り出した時、この試行は失敗したと呼ぶ。この試行の得点Xは、成功した時は取り出したカードの枚数とし、失敗した時は0点とする。 (1) 確率P(X=1)およびP(X=2)を求めよ。 (2) この試行が成功する確率を求めよ。また、得点の平均(期待値)E(X)を求めよ。 (3) 取り出したカードに書かれた番号の和が6となる確率を求めよ。更に、取り出したカードに書かれた番号の和が6であることがわかっているとき、X＝3である条件つき確率を求めよ。 問５ 何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。ただし、各部屋は十分大きく、定員については考慮しなくてよい。□の中にに数字をいれよ。 (1) 7人を二つの部屋A，Bに分ける。 (i) 部屋Aに3人、部屋Bに4人となるような分け方は全部で□通りある。 (ii) どの部屋も1人以上になる分け方は全部で□通りある。そのうち、部屋Aの人数が奇数である 分け方は全部で□通りある。 (2) 4人を三つの部屋にA，B，Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方は全部で□通りある。 (3) 大人4人、子供3人の計7人を三つの部屋A，B，Cに分ける。 (i) どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で□通りある。そのうち、三つの部屋に子供3 人が1人ずつ入る分け方は全部で□通りである。 (ii) どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で□通りある。 以上よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学"組合せ"の問題
ふとした事情から,高校の時ものすごく苦手だった確率・統計の教科書を見返すことになってしまいました. その中の問題, 問）15冊の異なる本を5冊ずつ次のように分ける仕方の数を求めよ. (1)書棚の上・中・下段に並べる. (2)3つの束にくくる. 5冊ずつ3つに分けるのだから順番は関係なく,組合せの問題で,答えは 15Ｃ5 × 15Ｃ5 通り だと考えました.しかし巻末の答えは,(1)については上記の通りですが,(2)は 14Ｃ4 × 9Ｃ4 通り でした. 上の2つは全く同じことを言っているとしか思えません.どなたか易しくかつ数学的にご指導願えませんでしょうか.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学I 確率の問題
基本的な問題ばかりですが確率がいまいち理解できず、また回答が手元になくて困っています。多いですがよろしくお願い致します。 １．さいころを５回投げる。次の確率を求めよ。 (1)１か２がちょうど３回出る確率。 (2)出た目の積が３の倍数になる確率。 ２．１から２０までの番号をつけた２０枚のカードから同時に２枚を取り出す。次の確率を求めよ。 (1)取り出したカードの番号の和が偶数になる。 (2)取り出したカードの番号の積が偶数になる。 ３．１０人のうち３人が病気にかかっている。次の確率を求めよ。 (1)１０人のうち３人を検査して、１人以上が病気の確率。 (2)１０人のうち５人を検査して、２人だけが病気の確率。 ４．名札A・B・C・Dを名前がA・B・C・Dの４人に１人１枚ずづ配る。次の確率を求めよ。 (1)２人だけが自分と同じ名前の名札を受け取る確率。 (2)１人だけが自分と同じ名前の名札を受け取る確率。 (3)誰も自分と同じ名前の名札を受け取らない確率。 ５．１個のさいころを５回投げる。次の確率を求めよ。 (1)２以下の目が３回以上出る確率。 (2)少なくとも一回は３以上の目が出る確率。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
詳しい解答ありがとうございます。