この数学の問題の答え正しいですか？

質問

4枚のカードを積んだ山があり、各カードには、上から順番に１から4まで番号が付けられている。

このカードの山に対して、次の試行を繰り返す。
一回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上に戻すか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという
操作を行う。
これら4通りの操作は、すべて同じ確率であるとする。
4回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード（番号4）が山の一番上に来ている
確率を求めよ。

これの答えは、30/２５６＝ １５/１２８
でしょうか？

回答No.6

yyssaa · ベストアンサー

この問題の解の一般化(カード全枚数n枚)を考えてみました。
2≦r≦nとして、
上からｒ枚目のカードが１回の試行の結果で上から(r-1)枚目に
来る確率をPr(r-1)、r枚目のままとなる確率をPr(r)とします。
　一番上から取ったカードを置く場所(戻す場所及び入れる場所)は、
元の場所からn枚目のカードの下までの、全部でn通りあります。
そのカードがr枚目のカードの下からn枚目のカードの下までの
(n-r+1)通りの場所に置かれる場合には、r枚目のカードは
(r-1)枚目に来るので、その確率Pr(r-1)はPr(r-1)=(n-r+1)/n
となります。
　一方、そのカードが元の場所から(r-1)枚目のカードの下までの
(r-1)通りの場所に置かれる場合には、r枚目のカードはr枚目のまま
なので、その確率Pr(r)はPr(r)=(r-1)/nとなります。
　最初一番下にあったカード(番号n)がn回の試行を終えたときに
一番上に来ているためには、(n-1)回の試行を終えたときに、その
カードは一番上、又は上から二番目に来ていなければなりません。
　今、n枚目のカード(番号n)が１回の試行の都度(n-1)枚目、
(n-2)枚目・・・・・と１枚ずつ上に来るとすると、(n-1)回の試行
を終えたときにそのカードは一番上に来ており、そうなる確率を
P(1)とすると、P(1)=Pn(n-1)*Pn-1(n-2)*Pn-2(n-3)*・・・*P3(2)*P2(1)
=(1/n)*(2/n)*(3/n)*・・・・・*{(n-2)/n}*{(n-1)/n}=(n-1)!/n^(n-1)
となります。
　次にn枚目のカード(番号n)が上からr枚目になった時は２回の試行で
(r-1)枚目となり、r枚目以外では試行の都度１枚ずつ上に来るとすると、
(n-1)回の試行を終えたときにそのカードは上から二枚目に来ており、
そうなる確率をP(2)とすると、
P(2)=∑(r=n→3){Pn(n-1)*P(n-1)(n-2)*・・・*Pr(r)*Pr(r-1)・・・*P3(2)}
+Pn(n-1)*P(n-1)(n-2)*Pn-2(n-3)*・・・・・・*P3(2)*P2(2)
=∑(r=n→3){(n-1)!/n^(n-1)}*{1/P2(1)}*{Pr(r)}
+{(n-1)!/n^(n-1)}*{1/P2(1)}*{P2(2)}
=∑(r=n→3){(n-1)!/n^(n-1)}*{n/(n-1)}*{(r-1)/n}
+{(n-1)!/n^(n-1)}*{n/(n-1)}*(1/n)
=∑(r=n→3){(n-1)!/n^(n-1)}*{(r-1)/(n-1)}
+{(n-1)!/n^(n-1)}*{1/(n-1)}
={(n-2)!/n^(n-1)}*∑(r=n→3)(r-1)+{(n-2)!/n^(n-1)}
={(n-2)!/n^(n-1)}*{(n^2-n-2)/2}+{(n-2)!/n^(n-1)}
={(n-2)!/n^(n-1)}*{(n^2-n-2)/2+1}={(n-2)!/n^(n-1)}*{n(n-1)/2}
=n!/2n^(n-1)
となります。
　求める確率は、(n-1)回の試行を終えたときに一番上に来ている番号n
のカードがn回目の試行を終えたときも一番上に来ている確率=P(1)*1/n
と、(n-1)回の試行を終えたときに上から二番目に来ている番号nのカード
がn回目の試行を終えたときに一番上に来ている確率=P(2)*P2(1)の合計
になります。
P(1)*1/n={(n-1)!/n^(n-1)}*(1/n)=(n-1)!/n^n
P(2)*P2(1)={n!/2n^(n-1)}*{(n-1)/n}=(n-1)n!/2n^n
　よって求める確率PはP={(n-1)!/n^n}+{(n-1)n!/2n^n}=
{2(n-1)!/2n^n}+{(n-1)n(n-1)!/2n^n}=(n^2-n+2)(n-1)!/2n^nとなります。

　因みにn=3とすると
P=(3^2-3+2)(3-1)!/2*3^3=(9-1)(2)!/2*27=16/54=8/27となります。
又、P=4では
P=(4^2-4+2)(4-1)!/2*4^4=(16-2)(3)!/2*256=14*6/(2*256)=42/256=21/128
となりました。

お礼

詳しい解答ありがとうございます。

回答No.5

yyssaa

済みません。間違えました。ご迷惑をおかけしました。
ANo.4回答者さん、ありがとうございました。
ANo.3に【【・・・】】部分を追加して修正します。

１回目終了時の「４」の位置と確率は
一番下になる確率：３/４
【【この場合、２回目終了時の「４」の位置と確率は
２回目の試行で上から３番目になる確率：１/４
この場合、３回目終了時の「４」の位置と確率は
３回目の試行で上から２番目になる確率：１/２
この場合、４回目終了時の「４」の位置と確率は
４回目の試行で一番上になる確率：３/４((3/4)*(1/4)*(1/2)*(3/4)=9/128)】】
上から３番目になる確率：１/４・・・(ア)

(ア)の場合の２回目終了時の「４」の位置と確率は
２回目の試行で上から３番目になる確率：１/２・・・(イ)（ア*イ=1/8）
　　　〃　　　上から２番目になる確率：１/２・・・(ウ)（ア*ウ=1/8）

(イ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は
３回目の試行で上から２番目になる確率：１/２・・・(エ)（ア*イ*エ=1/16）
(ウ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は
３回目の試行で上から２番目になる確率：１/４・・・(オ)（ア*ウ*オ=1/32）
　　　〃　　　一番上になる確率：３/４：・・・・・・・(カ)（ア*ウ*カ=3/32）
従って、３回目の試行終了時の「４」の位置と確率は
上から２番目になる確率：1/16+1/32=３/３２・・・・・(キ)
一番上になる確率：３/３２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(ク)

(キ)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は
４回目の試行で一番上になる確率：３/４・・・・・・・・・(ケ)（キ*ケ=9/128）
(ク)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は
４回目の試行で一番上になる確率：１/４・・・・・・・・・(コ)（ク*コ=3/128）

よって求める確率＝(9/128)+(3/128)+【【9/128】】=２１/１２８(修正後)になります。

お礼

さらに詳しく解答ありがとうございます。

回答No.4

MagicianKuma

>No.3へ

>１回目終了時の「４」の位置と確率は
>一番下になる確率：３/４
とかかれていますが、この後の展開が抜けていませんか？
このあと、４が一番上に行く場合もありますよ。2回目3回目4回目とも4より下にカードがいけば良い。

回答No.3

yyssaa

１回目終了時の「４」の位置と確率は
一番下になる確率：３/４
上から３番目になる確率：１/４・・・(ア)

(ア)の場合の２回目終了時の「４」の位置と確率は
２回目の試行で上から３番目になる確率：１/２・・・(イ)（ア*イ=1/8）
　　　〃　　　上から２番目になる確率：１/２・・・(ウ)（ア*ウ=1/8）

(イ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は
３回目の試行で上から２番目になる確率：１/２・・・(エ)（ア*イ*エ=1/16）
(ウ)の場合の３回目終了時の「４」の位置と確率は
３回目の試行で上から２番目になる確率：１/４・・・(オ)（ア*ウ*オ=1/32）
　　　〃　　　一番上になる確率：３/４：・・・・・・・(カ)（ア*ウ*カ=3/32）
従って、３回目の試行終了時の「４」の位置と確率は
上から２番目になる確率：1/16+1/32=３/３２・・・・・(キ)
一番上になる確率：３/３２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(ク)

(キ)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は
４回目の試行で一番上になる確率：３/４・・・・・・・・・(ケ)（キ*ケ=9/128）
(ク)の場合の４回目終了時の「４」の位置と確率は
４回目の試行で一番上になる確率：１/４・・・・・・・・・(コ)（ク*コ=3/128）

よって求める確率＝(9/128)+(3/128)=12/128=３/３２になります。

回答No.2

MagicianKuma

もうちょい大きいと思います。

４と書かれたカードの位置の状態を考えると次の４種類となります。
状態Ａ：４が上から４番目にある。○○○(4)
状態Ｂ：４が上から３番目にある。○○(4)○
状態Ｃ：４が上から２番目にある。○(4)○○
状態Ｄ：４が上から１番目にある。(4)○○○
Ａ→Ｂは１／４の確率で遷移します。同様に
Ｂ→Ｃは２／４
Ｃ→Ｄは３／４
ただこれだと３回の試行になってしまいますので、どこかで１回足踏み（同じ状態になること）が必要です。
例えば、Ａ→Ａ　３／４の確率で遷移
または、Ｂ→Ｂ　２／４の確率で遷移
または、Ｃ→Ｃ　１／４の確率で遷移
または、Ｄ→Ｄ　１／４の確率で遷移

Ｐ(Ａ→Ｂ)・Ｐ(Ｂ→Ｃ)・Ｐ(Ｃ→Ｄ)・(Ｐ(Ａ→Ａ)+Ｐ(Ｂ→Ｂ)+Ｐ(Ｃ→Ｃ)+Ｐ(Ｄ→Ｄ))

回答No.1

asuncion

＞これの答えは、30/２５６＝ １５/１２８

どのようなプロセスを経てその結論に至ったかを説明してくださると、大いに助かります。