試行をわける操作？？

質問

うまく言えないのですが
試行を分ける操作？
試行を他の試行に置き換える操作？
が理解できません

「サイコロを5回投げて、そのうち3回3の倍数の目が出る確率を求めよ」
という問題を例にとります

ここでは
試行＝サイコロを5回投げる
全事象＝一回目が1～6、二回目が1～6・・・
求めたい事象＝そのうち3回3の倍数の目が出る　　
ですよね？
上記からn(求めたい事象)/n(全事象）で答えを出すのが
確率の定義のとおりの考え方ですよね

しかし回答には
『各回において3の倍数の目がでる確率は1/3であるので、
5Ｃ3×（1/3）＾3×（2/3）＾2　が答え』
とあります
これは今話題になっている試行を別の試行におきかえて、確率をだし
それをかけているように思います
なぜこのようなことができるのでしょうか

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>>>よって、1～3回目に3の倍数が出て、かつ、4～5回目に3の倍数が出ない確率は、
>(1/3)^3・(2/3)^2で求まります。
>
>これがなぜかわかりません

場合の数を使ってやるなら、1,2,3回目が3の倍数で4,5回目が3の倍数でない場合の場合の数は

2 x 2 x 2 x 4 x 4

これを全ての場合の数 6 x 6 x 6 x 6 x 6 で割るだけですよね。

(2 x 2 x 2 x 4 x 4)/(6 x 6 x 6 x 6 x 6)

これは計算の順序を変えれば

(2÷6)X(2÷6)X(2÷6)X(4÷6)X(4÷6)

というように5回の分割された試行の個々の事象の確率の積に変換できます。

それだけですよ。分からないのはどこなのでしょう？

回答No.5

MagicianKuma

皆さんがいろいろと有益な助言をしているので、蛇足のようなものですが、
>試行＝サイコロを5回投げる
>全事象＝一回目が1～6、二回目が1～6・・・
>求めたい事象＝そのうち3回3の倍数の目が出る　　ですよね？
>上記からn(求めたい事象)/n(全事象）で答えを出すのが
>確率の定義のとおりの考え方ですよね
その通りなんですが、そう計算できるためには、試行の結果（6,1,2,3,3)とか(2,1,4,4,6)等々が同じ確からしさで起きる。という前提（仮定）が必要ですよね。逆に質問しますが、その前提（仮定）はすんなりと受け入れられますか？
この前提にいたる前に、サイコロを1回投げるという試行への考察があって、試行の結果は1～6が起こりますが、これを同じ確からしさで起こると仮定すると、いろんな確率を求める事ができるわけです。3の倍数が出る確率は1/3とか。
そして、サイコロを2回投げるとした場合、2回目の目の出方は、1回目の目の出方に関係ないねぇ（これも経験的に正しい仮定です）とすると、1回目ｉの目が出て、2回目ｊの目が出る確率はｉ，ｊに関係なく1/36となり、どんな（ｉ，ｊ）も同様な確からしさで起こるのだな。となるわけです。
この考えを延長して、サイコロを5回投げるという試行を考えたとき、どんな結果(i,j,k,l,m)も同様な確からしさで起こるのだなという仮定がすんなりと受け入れられる訳です。
ですから、別の試行に置き換えているわけではなく、サイコロを5回投げる。という試行を考える場合、サイコロを1回投げる。という独立した試行の組み合わせで考えましょう。ということです。

回答No.4

ereserve67

独立試行と排反事象と言う言葉があります．

例の試行をTとするとこれは5つの独立な試行

T_i：i回目を投げる(i=1～5)

に分けることができます．一般に，

試行Sと試行Tが独立⇔Sで起こる事象とTで起こる事象が互いに影響を与えない

と定義されます．実際には独立試行T，Sを行うとき

P(TでA，SでBが起こる)=P(TでA）×P(TでB）

が成り立つことを使います．A，Bはそれぞれ試行S,Tの任意の事象です．これは

(☆)P(A∩B)=P(A)P(B)

と書くことがあります．この式がポイントです．

さて，試行T_iで3の倍数がでる事象をA_iと書くと，1～3回に3の目が出て4，5回は3の目が出ない事象は

A_1∩A_2∩A_3∩A_4^c∩A_5^c

です．A^cはAの余事象を表します．その確率は独立試行だから，P(A_i)=1/3,P(A_i^c)=2/3に注意して

P(A_1∩A_2∩A_3∩A_4^c∩A_5^c)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4^c)P(A_5^c)

=(1/3)^3(2/3)^2

目の出方はこの他，3の倍数がでる回数が1,2,4や1,2,5や・・・や4,5,6であり，これは1～6から3つ選ぶ方法の数5C3だけあります．これらはすべて排反ですから

(★)排反事象の加法定理

より

　P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4^c)P(A_5^c)
+P(A_1)P(A_2)P(A_3^c)P(A_4)P(A_5^c)
+P(A_1)P(A_2)P(A_3^c)P(A_4^c)P(A_5)
・・・
+P(A_1^c)P(A_2^c)P(A_3)P(A_4^c)P(A_5^c)

=(1/3)^3(2/3)^2+・・・+(1/3)^3(2/3)^2（5C3個）

=5C3(1/3)^3(2/3)^2(1)

この式は☆と★の集大成なのです．

なお1/3=2/6,2/3=4/6だったのでこの式は

5C3・2^3・4^2/6^5(2)

とかけます．分母はサイコロの目の出方すべてです．分子は目の出方5C3と3,6の目が3回でる出方2^3と3,6以外の目が2回でる出方4^2の積です．これはn(求めたい事象)/n(全事象)になっています．これは1つの試行とみているわけです．

1つの試行として(2)で計算しても，5つの試行に分け独立試行と排反事象の加法定理を使った(1)で計算しても，結果は同じです．しかし，☆や★を使って考えて(1)で計算したほうが考えやすく，応用も効き，また理論的手法も増え，より複雑な問題をとくことができるようになります．

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ちょっと凝り固まっている気がしますが、

・排他的の事象の和事象の確率
・試行の分割と独立な試行の積事象の確率

などを調べてはいかがでしょう？

ほとんど自明な定理で普段意識しませんが、
「n(求めたい事象)/n(全事象）」と質問で示されている計算法と、
全く同等であることがわかると思います。

それと、「n(求めたい事象)/n(全事象）は同様の確からしさの事象群を
特定できて初めて計算できることをお忘れなく。

回答No.2

asuncion

互いに独立な事象A, Bがあるとき、これらの確率をP(A), P(B)とすると、
A, Bが共に起きる確率はP(A)・P(B)です。

回答No.1

asuncion

5回の試行において、
1回目に3の倍数が出る確率=1/3
2回目に3の倍数が出る確率=1/3
3回目に3の倍数が出る確率=1/3
4回目に3の倍数が出ない確率=2/3
5回目に3の倍数が出ない確率=2/3
です。これらの試行は互いに独立であり、ある回の事象が他に影響を与えません。
よって、1～3回目に3の倍数が出て、かつ、4～5回目に3の倍数が出ない確率は、
(1/3)^3・(2/3)^2で求まります。
ところが、5回の試行において3の倍数が3回出る場合の数は、上記以外にも存在します。
それが5C3です。
もしくは、5回の試行において3の倍数以外が2回出る場合の数を考えて、
5C2としても同じです。
よって、(1/3)^3・(2/3)^2に、5C3あるいは5C2をかける必要があります。

お礼

回答ありがとうございます

>>5回の試行において、
1回目に3の倍数が出る確率=1/3
2回目に3の倍数が出る確率=1/3
3回目に3の倍数が出る確率=1/3
4回目に3の倍数が出ない確率=2/3
5回目に3の倍数が出ない確率=2/3
これらの試行は互いに独立であり、ある回の事象が他に影響を与えません。

ここまではわかります　ですが

>>よって、1～3回目に3の倍数が出て、かつ、4～5回目に3の倍数が出ない確率は、
(1/3)^3・(2/3)^2で求まります。

これがなぜかわかりません
直感的にはなんとなくそうだろうと思いますが
確率の定義にからこれを証明しようと自分で考えてもできないのです