高校数学の確率の問題です。

質問

こんにちは。私は学生ではないのですが脳を鍛えようと思い、高校時代の数学をまた勉強しています。でもお手上げになったので質問することにしました。（×の記号は*で表わしています）
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Q.　１から９までの番号札が各数字３枚ずつ計２７枚ある。札をよく混ぜてから２枚取り出したとき、次の確率を求めよ。

(1)　２枚が同数字である確率

(2)　２枚の数字の和が５以下である確率
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・・・という問題なのですが、私は一つの問題でも二つのやり方で考えてみて、(2)でその二つのやり方の答えが矛盾してしまったためにもうずっと考え続けています。

(1)は二つのやり方で答えが一致したので問題ありません。（下の方法で考えました）

(1)　２枚が同数字である確率

まず一つ目の考え方（☆）です、

☆ 3/27 * 2/26 * 9 = 1/13

全部の中に同数字はそれぞれ３枚ずつあるので3/27は特定の数字一枚を取りだしたときで、2/26は全体が一枚減った26枚から一枚目と同じ特定の数字の残り２枚から取り出すという考え方です。そしてその選び方が９通りあるので最後に９をかけました。

もうひとつの考え方（★）です、

★ (9 * 3C2) / 27C2 = 1/13

3C2、27C2、というのはコンビネーション３の２、コンビネーション２７の２、のことです。少し見にくくてすいません。全体の２７枚の中から２枚を選ぶのでこの考え方が分母にきています。分子は同数字３枚から２枚を選ぶ考え方が９通りでこうなります。

(1)は解答の答え合わせでも1/13となっていたので大丈夫だと思います。
私はこのように２通りの考え方をしてみて、(2)のとき☆と★の答えが違ってしまいました。

(2)　２枚の数字の和が５以下である確率

和が５以下になる組み合わせを考えてみました。それは（１・１）、（２・２）、（１・２）、（１・３）、（１・４）、（２・３）の６通りが考えられます（これは解説でもこうなっていたので確かだと思います）。

☆ 3/27 * 2/26 * 2 + 3/27 * 3/26 * 4 = 8/117

（１・１）、（２・２）の場合は同数字なので(1)のように考えて、3/27 * 2/26 * 2と表わしました。残りの４パターンについては別々の数字になっているので2/26ではなく3/26としました。それが４通りで４をかけています。そしてそれらをプラスで結んでいます。

でも次に書く解説の考え方の答えとは違っていました。

★ (2 * 3C2 + 4 * 3C1 * 3C1) / 27C2 = 14/117

この考え方もすごくわかります。（１・１）、（２・２）の２通りを他の４通りと分けて考えてるところも☆と似ていると思います。 考え方はすごくわかるのにどうして☆と★では答えが違ってしまったのでしょうか。

だれか私の偏見に満ちた脳をハッと醒ましてくれるような数学が得意な方、お願いします。
もしかしたらすごい勘違いをしているかもしれません。（結構そういうこと多いので）(;O;)

私が知りたいことは(2)を☆（私の考え方）で解くにはどう考えたらいいのかということです。誰か余裕のある方、よろしくお願いします～＼(・o・)／

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞和が５以下になる組み合わせを考えてみました。それは（１・１）、（２・２）、（１・２）、（１・３）、（１・４）、（２・３）の６通りが考えられます

☆の計算で行くなら

（１・１）、（２・２）、（１・２）、（１・３）、（１・４）、（２・３）の他に、（２・１）、（３・１）、（４・１）、（３・２）も加えないと。

（１・１）、（２・２）は3/27 * 2/26 * 2。

（１・２）、（１・３）、（１・４）、（２・３）、（２・１）、（３・１）、（４・１）、（３・２）は3/27 * 3/26 * 8。

足したら、3/27 * 2/26 * 2 + 3/27 * 3/26 * 8 = 14/117。

☆と★が一致します。

お礼

和が５以下になる組み合わせは６通りだって思ってたけど、☆のやり方だと（１・２）と（２・１）は別ですよね、確かに。う～ん全然思いつかなかったです～。すべての可能性（８通り、まあ厳密には１０通りですが）を書きだしてくれたのでとてもわかりやすかったです。これから☆のやり方で解くときはこういう落とし穴（？）にひっかからないように頑張ります。

お忙しい中ありがとうございました！！

補足

皆さんとてもすばらしくて本当に感謝です～m(__)m
こんなに早く解決すると思っていなかったのでとても嬉しいです。結果として別数字が８通りあったのに４通りだと思って計算したのが間違いのモトでした。皆さんのおかげで気付くことができました。ありがとうございました～＼(^o^)／

回答No.4

noname#166245

これはとってもありがちなミスです。

計算している確率の分母の２７ｘ２６はなんでしょうか。
２７枚から２枚とって並べる順列ですよね。

「順列」であって、組み合わせではありません。

としたら、分子も順列の数を使わなければならないのです。

(1,4)と(4,1)は別なのです。
分子だけ組み合わせを使ってはいけません。

それらの分を足していけば、解答と一致します。

お礼

たしかに～！！☆の分母のやり方は順列の感じですね。順列と考えたら（１・４）を（４・１）と区別してないのはおかしいですね。たしかに分母だけ順列してますね。

＞分子も順列の数を使わなければならないのです

そうですよね～（*^_^*）納得納得。

お忙しい中ありがとうございました！！

回答No.3

WiredLogic

そういう感じで悩んでいるのであれば、
できるだけ、表し方を共通にして、
違うところが、目立つようにしてみましょう。

＞★ (2 * 3C2 + 4 * 3C1 * 3C1) / 27C2 = 14/117
＞☆ 3/27 * 2/26 * 2 + 3/27 * 3/26 * 4 = 8/117

27C2 = (27*26)/2 なので、1/27C2 = 2/(27*26) です。

8/117 = 3/27 * 2/26 * 2 + 3/27 * 3/26 * 4
= 3*2 * 2/(27*26) + 3*3*2 * 2/(27*26)
= (3*2 + 3*3*2)*2/(27*26)
= (3*2 + 3*3*2) / 27C2

3*2 = 2 * 3C2, 3*3*2 = 2 * 3C1 * 3C1

つまり、別数字の４パターンの場合がうまくいってないことが解ります。

となると、

＞残りの４パターンについては別々の数字になっているので2/26ではなく3/26としました。それが４通りで４をかけています。

のところに鍵がありそう。

２倍になるということは、3/26 でなく、6/26 だったら
よかったのに、と考えたら、気づきませんか？

そうです。最初の１枚を取り出した後、それと違う数字の
書いてあるカードは、２＊３＝６枚残っている訳です。
ここでミスっていた訳ですね。

お礼

☆と★の式を見比べてどこが問題だったか見極めるんですね！WiredLogicさんの言うとおり間違いは別数字の４通りのところにありました。４通りではなく４×２通りだったんです。WiredLogicさんのように式を見くらべることも大切ですよね。

お忙しい中ありがとうございました！！

回答No.1

rnakamra

(1.2)の組み合わせを引く確率は
(1枚目に1を引き2枚目に2を引く確率)+(1枚目に2を引き2枚目に1を引く確率)
になります。質問者の☆の考えでは最初の場合だけを足し合わせています。この分の不足があります。

☆の式は
3/27*2/26*2+3/27*3/26*2*4
でなければならないのです。

お礼

私が投稿したわずか30分の間にもうわかってしまったのですね、さすがです！！…そうか～、☆のやり方だと一枚目、二枚目、と分けて考えるから（１・２）は（２・１）も考えなきゃいけないんですね～残りの3通りも同様に。おかげで脳が少し動いてきた気がします。私が何日も考えていたのにすぐ分かっちゃうなんてすごいですね。

お忙しい中ありがとうございました！！