確率の並び方の問題の解き方を教えて下さい！ 中学数学

質問

数学の中学確率の問題を解いてみたのですが、解答解説を読んでもそうなる理由がわからなかったので教えて下さい。

【１】R,R,U,U,Uという５つの数字を並び方の組み合わせは全部で何通りあるか？
解説では、５×４／２＝１０通りとなっていましたが、なぜ５×４が出てくるかわかりません。

【２】ⅹ＋ｙ＋ｚ＝10のとき、ⅹ、ｙ、ｚにあてはまる数は何通りあるか？
９×８／２×１＝３６通りとなっていましたが、こちらも同様に理由がわかりません。

ご存知の方教えていただけないでしょうか？

回答No.4

sfcqx941 · ベストアンサー

No.1でお答えしましたsfcqx941です。質問を受けましたのでここでさらにお答えします。

中学生の方でしたか。確かに「！」の意味は高校で習いますので。

数字に「！」をつけると、これは「階乗」といって、その数字から一個ずつ減らしたものをかけていくという記号です。

言葉で説明すると難しいので、例を書くと、
５！＝５×４×３×２×１＝１２０（通り）　です。

では、この「階乗」はどのような時に使うのか。
これは、No.3の回答者が書かれている、「順列」というもののひとつです。順列は、詳しくは高校で習いますが、もともとは、「順に列にして並べる」という意味です。

その仲間である「階乗」では、例えば５！は、「５個のものを並べる」という意味を示します。

５個のものを並べてみると、並び方がたまたま１２０（通り）になったということです。いわば「！」はひとつの公式のようなものです。

これを中学生の範囲で話すと、■■■■■という５つのスペースがあります。ここに、たとえば１，３，５，７，９という５つの数字を入れるとします。
まず、左から順に入れていきます。１個目の■には、５個の数字が入るので、５通り、２個目には４通り、３個目には３通り・・・となり、５×４×３×２×１となります。（何でかけるのかというのは、高校の「積の法則」などで教えてもらってください。）

つぎに、どうして５個の数字を並べるのに、「５！」ではなく　
５！　　　　5・4・3・2・1
――――＝―――――
２！３！　　2・1・3・2・1
のように分母に変なものが付いているのでしょうか。これは、並んでいる数字のなかに、同じ数字があるからです。

ＲＲＵＵＵのＲのように２つ同じものがあるときは、１個目のＲと２個目のＲを入れ替えた場合も同じなので、多く数えすぎたことになります。だから、その階乗（！）で割ってやります。ＵＵＵの場合もおなじです。したがって、
　５！
　――――　となります。これは高校では「同じものを含む順列」と
　２！３！
　　　　　　いいます。
しかしこれを中学生に解かせるのは少し酷だとおもいます。中学生の範囲でもっと簡単に解ける方法があるかもしれませんので、先生に聞いてみてください。

でも、上に書いたことをぼんやりとでも知っていると、高校１年の数学がずっと楽になりますよ。決して上手な説明ではないですが、印刷したりメモしたりして残しておいたらどうでしょう？

お礼

ありがとうございます！
とてもよくわかる説明でした。
高校でも活かせる知識のようなので、早速メモさせていただきました。
詳しく説明していただいたので、分母の意味も理解することができました。

回答No.3

Ishiwara

【1】について
全部で５個、Ｒは２個、Ｕは３個。どこにも４という数がありません。それなのに「５×４」とある。この４は一体どこから来たの？
という疑問ですよね。
なるほど。そう思いたくなります。

しかし、この４は「Ｒが２個」であることに原因があるのです。
つまり、５×４×３×２×１という掛け算の「最初の２個」を取り出すから「５×４」になるのです。

省略しないで書けば、
（全体数５の順列）/（（Ｒの数２の順列）×（Ｕの数３の順列））
＝（５×４×３×２×１）/（（２×１）×（３×２×１））
＝（５×４）/（２×１）
です。

お礼

なるほど、そういった意味があって「５×４」が出てくるわけですね。
ありがとうございます、理由がわかってすっきりしました。

回答No.2

ducakoro

（２）だけど、X,y,zの制限はないの？
　　　X,y,zは＞０じゃなくていいの？

補足

すみません、記載するのを忘れていました。
「X,y,zは＞０」です。

回答No.1

sfcqx941

(1)のほうの回答ですが、質問者さんは中学生でしょうか。

もし高校生以上の方が昔のものにチャレンジしているのでしたら、こちらのやり方もやってみてください。

同じものを含む順列
　５！　　　　5・4・3・2・1
――――＝―――――＝１０（通り）
２！３！　　　3・2・2・1

または、樹形図で解いていくのはどうでしょう。解説書みたいに器用な解き方でなくても答えは出そうですよ。

(2)については・・・今から解いてみます。

お礼

そうですね。わからなかったら樹形図で解く、というのも手ですよね。
参考になりました。ありがとうございます。

補足

すみません、私は中学生なので[！]記号の意味がわかりません。
５・４・２・３・１／３・２・２・１の分母の方は、なぜそうなるのでしょうか？
お時間があればまた回答よろしくお願いします。