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数学A 確率(組み合わせ)
前回 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1478775 に続き、分からない問題があるのでアドバイスお願いいたします。 ■問 0から9までの数字を書いた球が10個ある。 この球をランダムに3個選ぶとき、選んだ球に書かれた数の合計が8以下となる確率を求めよ。 これも書き出せば分かるのですが、その他の考え方があるのか教えていただければと思います。 一応答えは、合計が8以下となるのは 3(0,1,2) 4(0,1,3) 5(0,1,4)(0,2,3) 6(0,1,5)(0,2,4)(1,2,3) 7(0,1,6)(0,2,5)(0,3,4)(1,2,4) 8(0,1,7)(0,2,6)(0,3,5)(1,2,5)(1,3,4) の16通りあるので、16/(10C3) = 2/15 なのですが、一般に、 『k個の異なる非負整数の和がn以下となるような非負整数の選び方は何通りあるか。』 という問題は簡単に考えられるのでしょうか。
- quads
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>p(n,3)ですと、同じ自然数を含んでしまうような気がしたのですが…。 しかしながら、やはりn以下のそれぞれの値の総和という風にして求めることになるのですね。 n以下の場合、 p(n-3,3)+p(n-4,3)+...+p(1,3)+p(0,3) =Σ{k=0,1,...,n-3}p(k,3) というのが私の回答です。 わかりにくくてすみません。 n個から3個予めボールを取り出して、 (0,1,2)という値が違う組み合わせを作っておいて、 残りのボールをp(x,3)で分けて、分けられた数字を小さい順に並べた上で、最初の(0,1,2)に加えると、同じ数字はできません。 たとえば合計が8になるのは、 (0,1,2)+{(0,0,5)(0,1,4)(0,2,3)(1,1,3)(1,2,2)} =(0,1,7)(0,2,6)(0,3,5)(1,2,5)(1,3,4) で、 この5通りというのは、p(5,3)に等しくなると思いました。
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- sunasearch
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簡単に言うと、 前回質問のgraphaffineさんの表記を拝借すると、 p(5,3)+p(4,3)+p(3,3)+p(2,3)+p(1,3)+p(0,3) で求められるのではないでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。 p(n,3)ですと、同じ自然数を含んでしまうような気がしたのですが…。 しかしながら、やはりn以下のそれぞれの値の総和という風にして求めることになるのですね。
- graphaffine
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quadsさん、今晩は。前の問題でもそうですがタイトルに数学Aと入っているのは違和感有り過ぎです。確かに問題は高校レベルかもしれませんが、求める方法は大学レベル(あるいはそれ以上)です。 初めは学生が学校の課題を聞いているのかと思いましたが、どうやら違うようですね。単なる趣味でしょうか。 でしたら、同好の士としてうれしい限りです。 前置きはこれぐらいにして、 >『k個の異なる非負整数の和がn以下となるような非負整数の選び方は何通りあるか。』 >という問題は簡単に考えられるのでしょうか。 多分簡単ではないと思います。ですので、条件を多少緩めた次の問題について書かせていただきますのでご参考まで。 「異なる自然数の和がちょうどnとなるような組合せの個数を求めよ」 解 (1+x)(1+x^2)(1+x^3)・・・のx^nの係数が求めるものである。 理由はあえて書きませんが、何となくわかりますよね。 この方法は組合せ論で強力な道具である母関数に関係します。私も勉強中なので詳しいことは勘弁させてもらいますが、興味があれば前の質問の文献1を御覧ください。
お礼
回答ありがとうございます。 確かに数学Aの問題を拡張してしまっているので不適切だったかもしれません。 しかし適切なタイトルが思い浮かばなかったので失礼させていただきました…。 そうですね、単なる趣味かもしれません… 紹介いただいた式が正しい理由は何となくわかりましたが、何となくなのでもう少し突き詰めてみたいと思います。 母関数についても少し触れてみました。 でも今の知識ではあまり理解できませんでした。。 紹介していただいた文献1は何か見つかりやすい気がするので見つけたら読みたいと思います。
- sunasearch
- ベストアンサー率35% (632/1788)
3つの数が違うので、ベースに [A] (0,1,2) という組み合わせを作ると、 場合の数は、これに、 [B] 0(0,0,0) 1(0,0,1) 2(0,0,2)(0,1,1) 3(0,0,3)(0,1,2)(1,1,1) 4(0,0,4)(0,1,3)(0,2,2)(1,1,2) 5(0,0,5)(0,1,4)(0,2,3)(1,1,3)(1,2,2) を加えたものです。 つまり、前回のご質問の 5個の区別のないボールを、3つの区別のない箱に入れる場合の数 + 4個の区別のないボールを、3つの区別のない箱に入れる場合の数 + ... + 0個の区別のないボールを、3つの区別のない箱に入れる場合の数 になるかと思います。 #[A]が1差で昇順。[B]が昇順(等しいか増える順番)ですので、全ての場合を網羅できると思います。
お礼
回答ありがとうございます。 でも、内容が理解できませんでした。。 私が解釈を勘違いしているだけかもしれませんが、どういう意味なのでしょうか…。 恐縮です。
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