数学の確率の問題の解き方を教えてください。

質問

高校入試の問題だと思います。以下の確率の問題がさっぱり分かりません。

（問）　紙に自然数をひとつ書く
　（条件）　3桁の数・・・(1)
　　　　　　 3桁とも違う数・・・(2)
　　　　　　 各位の数の和は10・・・(3)
百の位と一の位を逆にすると、元の数より198大きくなる。
　　　　　　 3桁の数は偶数

1． (1)のみ満たす数は□□□個ある。
　2．　(1)と(2)を満たす数は□□□個ある。
　3． (1)と(2)と(3)を満たす数は□□個ある。
　4． 紙に書いた数は□□□である。

　　　　よろしくお願いします。

回答No.2

birth11 · ベストアンサー

初めに書いた自然数を ABC とする。
1. 3桁の数は100から999までの900個
2. Aは 1 から 9 の9種類
Bは 0 から 9 のA以外の数で9種類
Cは 0 から 9 のAとB以外の数で8種類
ABCの考えられる数の個数は 9 x 9 x 8 = 648(個)
3. A + B + C = 10 となるのは
( A , B , C ) = (1,0,9),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),((1,5,4),(1,6,3),(1,7,2),(1,9,0),
(2,0,8),(2,1,7),(2,3,5),(2,5,3),(2,7,1),(2,8,0),
(3,0,7),(3,1,6),(3,2,5),(3,5,2),(3,6,1),(3,7,0),
(4,0,6),(4,1,5),(4,5,1),(4,6,0),
(5,1,4),(5,2,3),(5,3,2),(5,4,1),
(6,0,4),(6,1,3),(6,3,1),(6,4,0),
(7,0,3),(7,1,2),(7,2,1),(7,3,0),
(8,0,2),(8,2,0),
(9,0,1),(9,1,0)
40個ある。
4. CBA = ABC + 198 となる数 ABC を探し出す。
Cに 8 を足して 1の位の数が A となるのは
( A , B , C ) = (1,6,3),(3,2,5),(4,0,6),(8,2,0),(9,0,1)
ABC < CBA なので、A < C であるので
( A , B , C ) = (1,6,3),(3,2,5),(4,0,6)
ABC は偶数なので、C は偶数であるから、
ABC は 406 である。
因みに 604 - 406 = 198 で条件をクリアーしている。

集中力の問題ではないでしょうか。
集中力が途切れた時、答えがわからなくなってしまう。
問題の順番通りに確実に解いて行けばいい問題でした。
考えられる数の組合せを列挙しなければならなかったのが一手間でした。

以上。

お礼

ご回答ありがとうございます。とても参考になり、たいへん助かりました。

回答No.1

static_puts

確率というか、場合の数ですね。完解ではなく方針を紹介します(と言っても、一部は答えを示しましたが)。

(1)のみ満たす数というのは後から求めたほうが楽な気がしますので、先に2.の設問からやってみます。

3桁とも違う数であるような3桁の数は幾つあるかですが、
100の位が1～9の9通り
10の位が0～9のうち、100の位で使わなかったもの(9通り)
1の位が、0～9のうち、100の位や10の位で使わなかったもの(8通り)
ですので、9*9*8=648個ですね。これが、(1)と(2)を満たす数の合計です。ただし、(3)を満たすかどうかはわかりません。

次に、(3)を満たすための数字の組み合わせを求めてみましょう。これは力づくで数え上げます。結構な数がありますので、頑張って列挙してみてください。0<=a<=b<=c<=9という関係式の下でa+b+c=10となるように、と考えればそれほど時間を書けずに全列挙できると思います。

全列挙したうち、3つとも違う数字のものにチェックを入れていきます。チェックを入れたものについて、「0が含まれる組み合わせは幾つか」と、「0が含まれない組み合わせは幾つか」を数えます。

0が含まれる組み合わせは、0以外の数が100の位に来なければなりません。これを考慮すると0が含まれる組み合わせについては、1つに付き4通りの並び替え方があることがわかります。

同様に、0が含まれない組み合わせについては、1つに付き6通りの並び替え方があります。

これによって3.の値は計算できると思います。

4.は方程式を併用して考えると早いです。
今、紙に書かれた数がabcであったとします。条件から
a+b+c=10
100a+10b+c+198=100c+10b+a
という2つの方程式が得られます。

2つ目の式を変形すると
a+2=cとなります。ですので、(a,b,c)=(1,6,3),(2,4,4),(3,2,5),(4,0,8)のいずれかです。偶数であることと3つの数が全て違うことから、該当する数字は408、と求められます。

実は、1.の(1)のみ満たす数、というのがクセモノです。
先の考え方を応用すれば、(1)と(3)を満たす数を全て求めることができます。
すると、包除原理により
(1)を満たす数-(1)と(2)を満たす数-(1)と(3)を満たす数+(1)と(2)と(3)を満たす数
という計算により求められます。

お礼

アドバイスありがとうございます。大変参考になりました。がんばってみます。