この問題の簡単なあ解法はないでしょういか？

質問

０～６までの数字がかかれたカードが１枚ずつあって、
このカードをつくって３ケタの倍数を作り、その中から５で割り切れる自然数を除いていくと最後に残る自然数はいくつか？

といった問題があります。

考えたのですが、わからなかったので、
解説をみたのですが、
それでもわからなくて私でもわかるような解法はないでしょうか？

自分で考えたのは３ケタの３の倍数は
３つの数字のわが３の倍数になればいいので、
それを１つずつつくっていったのですが、
あまりに多すぎて時間がいくらあっても足りませんでした。

答えは４８個になるそうです。
何か良い方法はないものでしょうか？

回答No.5

debut · ベストアンサー

３の倍数ができる３つの数のグループを、0,5のあるなしで４つ場合に分けて考えてみます。
[1]0,5がない
(1,2,3)(1,2,6)(2,3,4)(2,4,6)
[2]0がある
(0,1,2)(0,2,4)(0,3,6)
[3]5がある
(1,3,5)(1,5,6)(3,4,5)(4,5,6)
[4]0と5がある
(0,4,5)(0,1,5)

[1]の場合、すべて残り、１つのグループで３けたの数は3!=6個できるから、６×４＝24個
[2]の場合、真ん中に０のものが残り、１つのグループでそれは２個あるから、２×３＝６個
[3]の場合、５が百か十の位にあれば残り、１つのグループではそれが４個(5が百の位で2個、5が十の位で2個)あるから、４×４＝16個
[4]の場合、百の位が５で十の位が０は残り、１つのグループではそれが１個だから、１×２＝２個

お礼

とてもわかりやすいご回答ありがとうございます！

なんとか理解できそうです。

[1]は理解できました。
[2]の場合は百の位に０がくるものと一の位に０がくるものを除くという意味ですね。
[3]の場合は一のくらいに５がくると
かならず５の倍数になるから除くということですね。
[4]の場合は一の位に０かきても５がきてもだめなので、
５と０は必然的に百か十の位になる。
０は百の位にこれないから５がくるということですね。

理解できました！
こんなにわかりやすい解法があるのですね！

他のご回答くださったみなさまもありがとうございました。
１つ１つよく考えてみたからやっと理解できたのかもしれません。

ありがとうございました！

回答No.6

debut

No5です。
＞のところでいろいろな数字の組み合わせがありますが、
＞自分でやるとどうしても全部思いつかなくて、
＞まちがってしまいます。
＞でも数学の得意な方はススすっと全部かいてしまいますよね。
＞それはもう才能なのでしょうか？
＞文系の頭でも残らず書き出すいい方法ってないでしょうか？

これは、もれがないように順番を決めて順序良くやるだけです。

例えば、0,1,2,3,4,5,6と書いておいて、前から順に組合せて
足して３・・(0,1,2)だけ
足して６・・(0,1,5)(0,2,4)(1,2,3)
（このとき、前から１個をまず0と決めて、0と1ならあとは5、0と1の次の2にすればもう１つは4、0が終わって次は最初が1で・・・というように、前から順々にずらしながら見ていきます）
足して９・・(0,3,6)(0,4,5)(1,2,6)(1,3,5)(2,3,4)
足して12・・(1,5,6)(2,4,6)(3,4,5)
足して15・・(4,5,6)
と言った感じです。

場合分けは、整理された順番とかルールとかを決めて、それに従ってもれがでないように気を配ることが大切です。

お礼

あ～そうやってやればいいんですね！

どうも私の苦手な理由は
そうやって分けて考えることができなくて
パニックってしまうところにありそうです。

でも、同じ問題ならがんばれば解けますが、
実際にこんなのがテストにでても解けなさそうです（＾＾；）
時間もかかりそうですしね。。。

でも理解できました！
ありがとうございました！

回答No.4

shinya23so

３ケタの３の倍数を作り、
その中から５で割り切れる自然数を除いていくですよね。

５の倍数は除くのだから、
下一桁は１２３４６しかありません。
下一桁が０と５の場合は必ず５の倍数になりますよね。

下一桁がZの時を考えましょう。
三つの合計が３の倍数ならいいのですから、
Z+X+Y＝（３の倍数）　
つまり　
X+Y=（３の倍数）-Z
一番めに大きい数の６と
二番目に大きい数の５、
三番目に大きい数の４を足しても、
１５なのですから、
X+Y+Zは１５以下になります。
１５以下で３の倍数は　３　６　９　１２　１５の五つだけです。

下一桁が１の時を考えましょう。
０１２３４５６で２つの数字を足して、
３の倍数になる組み合わせは、
どれだけあるのでしょうか？　
足し算の結果が３　６　９　１２　１５なのですから、
合計　３の時　　　１+（０+２）、　　　　　　　　
　　　　　逆の１+（２+０）
合計　６の時　　　１+（０+５）、１+（２+３）、　
　　　　　逆の１+（５+０）、１+（３+２）
合計　９の時　　　１+（２+６）、１+（３+５）、　
　　　　　逆の１+（６+２）、１+（５+３）
合計１２の時　　　１+（６+５）
　　　　　逆の１+（５+６）
合計１５の時　なし…下一桁が４以上の時だけ　４と６の時だけ

下一桁が２の時を考えましょう。
合計　３の時　　　２+（０+１）、　　　　　　　　
　　　　　逆の２+（１+０）
合計　６の時　　　２+（０+４）、２+（１+３）、　
　　　　　逆の２+（４+０）、２+（３+１）
合計　９の時　　　２+（１+６）、２+（３+４）、　
　　　　　逆の２+（６+１）、２+（４+３）
合計１２の時　　　２+（６+４）
　　　　　逆の２+（４+６）
合計１５の時　なし…下一桁が４以上の時だけ　４と６の時だけあり

下一桁が３の時を考えましょう。
数さえ分かればいいので、ここからは逆の位置は書きません。
合計　３の時　　　下一桁が２以下の時だけ　１と２の時だけあり
合計　６の時　　　３+（０+２）、３+（１+２）、　X2個　
合計　９の時　　　３+（１+５）、３+（２+４）、　X2個　
合計１２の時　　　３+（５+４）　　　　　　　　　X2個
合計１５の時　なし…下一桁が４以上の時だけ　４と６の時だけあり

下一桁が４の時はどうでしょうか？

お礼

すみません、

もう１つ質問ができてしまったのですが、

＞３の倍数ができる３つの数のグループを、0,5のあるなしで４つ場合に分けて考えてみます。
[1]0,5がない
(1,2,3)(1,2,6)(2,3,4)(2,4,6)
[2]0がある
(0,1,2)(0,2,4)(0,3,6)
[3]5がある
(1,3,5)(1,5,6)(3,4,5)(4,5,6)
[4]0と5がある
(0,4,5)(0,1,5)

のところでいろいろな数字の組み合わせがありますが、
自分でやるとどうしても全部思いつかなくて、
まちがってしまいます。

でも数学の得意な方はススすっと全部かいてしまいますよね。

それはもう才能なのでしょうか？

文系の頭でも残らず書き出すいい方法ってないでしょうか？

回答No.3

right_wing

3の倍数の特殊性に注目。
例：123という数字がある。これをそれぞればらして足す。1+2+3=6　6は3の倍数であるから。123も3の倍数である。というもの。
この条件から、３つの数字の組み合わせ（順不同。123も132も321も同じ扱い）を探す。
それぞれの組み合わせの並び替えパターンは3桁なので3!。
次に3桁の数字という条件から、百の位に0のつく数字を消す。0の位置が固定なので、のこりの2数の並び替えは2!。
5で割り切れる自然数を除くという条件から、一の位に0もしくは5のつく数字を消す。
最後に0と5が同時に入っている数字を考慮する。

こんな順番で解けるでしょう？

お礼

みなさまどうもご回答ありがとうございます。

やってみてはいるのですが、
やはり私にはむずかしいです（＾＾；）
ホント数学苦手で最悪です。

ちょっと思いついたことがありまして、

３桁の数字の組み合わせが何通りあるか考えてみたのですが、

百の位　１～６の６通り
十の位　０～６の７通り
一の位　０～６の７通りが
入りうる。

で、実際入れてみてできる組み合わせは
組み合わせのＣの公式をつかって、
６Ｃ１×６Ｃ１×５Ｃ１で１８０通りの３ケタの数字ができる

ここまであっていますでしょうか？

で、１８０通りから３の倍数を抜き出し
そこから５の場合数を除くということだと思うのですが、
これがさっぱりわからなくて、、、。

回答No.2

noname#129703

もう一つ、3の倍数には全ての桁を足すと３の倍数になるという法則がある。
この証明は、私には出来ないけど、できる人は教えてあげてください。
だから、下一桁が５なら、二桁目と三桁目を足したものは、１か４か７だろう。
下一桁が０なら、二桁目と三桁目を足したものは、３か６だろう。

回答No.1

noname#129703

５で割り切れる自然数は、下一桁が、０か５でしょう。
それに、数字の最初に０は来ない。
それが、多分ヒントになるでしょう。