数学の２次関数の問題でわからない問題がありますm(_ _)m

質問

文系人間なのですが、
数学でわからないところがあります(T_T)

解説を読んで見たのですが、
何度読んでもしっくりこなくて困っています。

わかりやすいような解法がありましたら、
教えていただきたいです。

＜問題＞

３ケタの自然数のうち１１で割ると１０あまり、９で割ると１余るような数をすべて加え合わせるといくつになるか。

といった問題です。

答えは４５４５円となっております。

申し訳ありませんが、
お詳しい方解説の方よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.6

Rice-Etude · ベストアンサー

No.3です。

回答のお礼欄の質問ですが

> aは9以上89以下の任意の自然数なのに
> なぜbは任意の自然数になるのでしょうか？

もちろんbも範囲はありますが、それがなくてもaの値は決定できるので省略しているだけで、正確には「bは少なくとも任意の自然数」と書いたほうが良かったかもしれませんね（bの範囲は11以上110以下となります）。

> また最後にaにいれていくところは
> かなり時間がかかりそうなのですが、
> もっとはやくやる方法はないでしょうか？

時間はかからないですよ。全部の合計を導く式は
(11×9＋10)＋(11×18＋10)＋…＋(11×81＋10)
=11×(9＋18＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81)＋9×10---(4)
と変形できるのは分かりますか？
あとは(4)の式にある括弧の中身の計算ですが、最初と最後、前から2番目と後ろから2番目、…というように二つずつ取り出して足してみてください。

お礼

ご丁寧にありがとうございます！

(11×9＋10)＋(11×18＋10)＋…＋(11×81＋10)
=11×(9＋18＋27＋36＋45＋54＋63＋72＋81)＋9×10のところは

たしかにこうすれば楽にできますよね。
こういう考え方ができないから私は数学が嫌いになってしまうんでしょうね。

助かりました！ありがとうございます！

回答No.5

take_5

簡単な不定方程式を解くだけ。

求める数をＮとすると、xとyを正の整数として、Ｎ＝11x＋10＝9y＋1　‥‥(1)
(1)の特別解を各々、αとβとすると11α＋10＝9β＋1　‥‥(2)
(1)－(2)より 11（x-α）＝9（y-β）。11と9とは互いに素から、mを正の整数として、x-α＝9m、y-β＝11mと表せる。
そこで、(2)を満たすαとβの具体例を求めると、（α、β）＝（9、12）。
従って、x＝9m＋9、y＝11m＋12.
Ｎ＝11x＋10＝9y＋1＝11（9m＋9）＋10＝99m＋109であるから、100≦Ｎ≦999に代入すると、0≦m≦8.
よって、Ｎ＝99*（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＋109*9＝4545.

回答No.4

koko_u_

>>>答えは４５４５円となっております。
>>そんなバカな。どんな参考書つかってるんですか!？
>いえ、答えはあっているはずです。

イキナリ単位が「円」て。
正解することは不可能だと思いますが。

回答No.3

Rice-Etude

答えは4545であってます。

この問題が二次関数の問題ってのがよく分からないのですが、解き方の流れは次の通りです。

ある3桁の自然数をkと置くと、このkは11で割ると10余るので
k=11a+10 (ただし、aは9以上89以下の任意の自然数）---(1)
また同時にkは9で割ると1余るので
k=9b+1 （ただし、bは任意の自然数）---(2)
(1)も(2)も同じ値なので
9b+1=11a+10
9b+1-10=11a
9b-9=11a
9(b-1)=11a
よって11aの値は9の倍数
よってaは9の倍数
(1)のaの範囲で9の倍数なのは9,18,27,36,45,54,63,72,81---(3)

あとは(1)の式に(3)のaの値を全部入れてみればわかると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

理解できたのですが、

aは9以上89以下の任意の自然数なのに
なぜbは任意の自然数になるのでしょうか？

また最後にaにいれていくところは
かなり時間がかかりそうなのですが、
もっとはやくやる方法はないでしょうか？

回答No.2

noname#168349

答えは合ってると思います。
解説のどこがしっくりこないのか書いてください。

回答No.1

koko_u_

>答えは４５４５円となっております。
そんなバカな。どんな参考書つかってるんですか!？

お礼

いえ、答えはあっているはずです。