数学の問題について教えてください 対数関数

質問

2^10　<　 (5/4)^n　 <　 2^20を満たす自然数nの個数を求めよ
但し0.301 　< 　log[10]2　 <　 0.3011
とする。

対数をとったのち変形すると
n(1-3log[10]2) < 20log[10]2 <2n(1-3log[10]2)　　・・・(1)
という式ができます。

ここで0.301 < log[10]2 < 0.3011ということを考え、
(1)の3つの数の取りうる範囲を代入して整理すると、

左の数は 0.0967n < n(1-3log[10]2) < 0.097n
真中の数は 6.02 < 20log[10]2 < 6.022
右の数は 0.1934n <n(1-3log[10]2) <0.194n
ということができます。

ここで、左の数の最小値が0.0967nをとる時、真中の数は最少値6.02をとり、
真中の数が最大値6.022をとる時、右の数の最大値0.194nをとることから
題意を満たすようなnは、0.0967n≦6.02 かつ6.022≦0.194nを満たすものである。

よってこれをとくと31.04…≦n ≦62.25…　
となり、32≦n≦62といえるので、求める数は
62-32+1=31となります。

問題と答えしか持っていなく、正しい解法についての情報がありません。
答えはあっているのですが、解法が正しいか不安です。
詳しい方、意見を聞かせてください。

回答No.3

noname#199771 · ベストアンサー

＞どこがどう怪しいのか教えていただけるとありがたいです。

代入とか最大最小とか言ってる時点で話が観念論になっています。
注意書きに書いたのは、単に言葉遣いが気に入らないというよう
なたぐいの作法上のことではなく、代入できないのに代入して得ら
れた結果を正しいかどうか考察することに意味が無いということです。

それに、log[10]2が0.301や0.3011になるときだけ考察していて、
log[10]2が「0.301 　< 　log[10]2　 <　 0.3011」
を満たすすべての値について(1)を評価していると主張する根拠
がみえません。

回答No.2

noname#199771

#1ですが間違いがあったので以下と差し替えお願いします。
------------------------------------------------
「ここで、左の数の最小値が」以下のロジックがアヤシイです。

log[10](5/4)>0なので
(10log[10]2)/log[10](5/4)<n<(20log[10]2)/log[10](5/4)
としてしまいましょう。

0<t<1/2のとき、関数f(t)=t/(1-3t)は増加関数なので、
10×0.301/(1-3×0.301)<n<20×0.3011/(1-3×0.3011)
すなわち
31+(3/97)<n<62+(266/967)
です。
（以下略）

文章の表現について気になったこと。
・代入という言葉を使っている箇所がありますが、その
　値は取れないので不適切です。
・最小値、最大値という言葉も同様の理由で不適切です。
・小数を表示するときに…を使うのはやめたほうがいい
　です。
・「左の数」とか「右の数」はどの数のことを言っているか
　わからないのでこういう曖昧な表現はやめたほうがい
　いです。

補足

回答ありがとうございます。
文章上の至らない表現の訂正までしていただき感謝です。

回答内容に関してですが、正直なところ

"「ここで、左の数の最小値が」以下のロジックがアヤシイです。"

についての詳しい内容が一番ほしいところです。
どこがどう怪しいのか教えていただけるとありがたいです。

nについて
(10log[10]2)/log[10](5/4)<n<(20log[10]2)/log[10](5/4)
として解くやり方はわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#199771

「ここで、左の数の最小値が」以下のロジックがアヤシイです。

log[10](5/4)>0なので
(10log[10]2)/log[10](5/4)<n<(20log[10]2)/log[10](5/4)
としてしまいましょう。

0<t<1/2のとき、関数f(t)=t/(1-3t)は増加関数なので、
10×0.3011/(1-3×0.3011)<n<20×0.301/(1-3×0.301)
すなわち
31+(133/967)<n<62+(6/97)
です。
（以下略）

文章の表現について気になったこと。
・代入という言葉を使っている箇所がありますが、その
　値は取れないので不適切です。
・最小値、最大値という言葉も同様の理由で不適切です。
・小数を表示するときに…を使うのはやめたほうがいい
　です。
・「左の数」とか「右の数」はどの数のことを言っているか
　わからないのでこういう曖昧な表現はやめたほうがい
　いです。