グラフの極値

質問

ｙ＝sinxcosx/((sinx)^3+(cosx)^3) のグラフで極値を与えるｘを求めよ。
普通に微分して、分子が０になるところを探そうと思ったが、うまく因数分解等ができませんでした。
また、計算が楽になるかと思い、分母・分子を（ｃｏｓｘ）＾２で割ってから、微分したけれど、符号が変わるところを限定できませんでした。よろしく、お願いします。

回答No.3

sanori

こんにちは。

【準備】
ｙの分子　＝　sinｘcosｘ

ｙの分母　＝　sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ

（ｙの分子）’　＝　（sinｘ）’・cosｘ　＋　sinｘ・（cosｘ）’
　＝　cos^2ｘ　－　sin^2ｘ

（ｙの分母）’＝　３sin^2ｘcosｘ　－　３cos^2ｘsinｘ
　＝　３sinｘcosｘ（sinｘ　－　cosｘ）

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ｙ’＝　｛（ｙの分子）’・ｙの分母　－　ｙの分子・（ｙの分母)’｝／（ｙの分母）^2

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【本番】
与式　＝　ｙ’の分子　と置く。

与式　＝　（ｙの分子）’・ｙの分母　－　ｙの分子・（ｙの分母)’
　＝　（cos^2ｘ　－　sin^2ｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　－　sinｘcosｘ・３sinｘcosｘ・（sinｘ　－　cosｘ）
　＝　（cos^2ｘ　－　sin^2ｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　－　３sin^2ｘcos^2ｘ・（sinｘ　－　cosｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（cosｘ　＋　sinｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　＋　３sin^2ｘcos^2ｘ・（cosｘ　－　sinｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛（cosｘ　＋　sinｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　＋　３sin^2ｘcos^2ｘ｝
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（cosｘ・sin^3ｘ　＋　cos^4ｘ　＋　sin^4ｘ　＋　sinｘ・cos^3ｘ　＋　３sin^2ｘcos^2ｘ）

ここで、
１　＝　（cos^2ｘ　＋　sin^2ｘ）^2　＝　cos^4ｘ　＋　２cos^2ｘsin^2ｘ　＋　sin^4ｘ
なので、

与式　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　cosｘ・sin^3ｘ　＋　sinｘ・cos^3ｘ　＋　sin^2ｘcos^2ｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　cosｘsinｘ（sin^2ｘ　＋　cos^2ｘ）　＋　sin^2ｘcos^2ｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　cosｘsinｘ　＋　sin^2ｘcos^2ｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　sinｘcosｘ・（１　＋　sinｘcosｘ））

ここで、
sinａcosａ　＝　（sin（２ａ））／２　より

与式　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛１　＋　sin（２ｘ）／２・（１　＋　sin（２ｘ）／２）｝
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛２　＋　sin（２ｘ）・（２　＋　sin（２ｘ））｝／４
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛２　＋　２sin（２ｘ）　＋　sin^2（２ｘ）｝／４

ここで、｛　｝の中身の最小値は２なので、与式＝０　になる条件は、
cosｘ　－　sinｘ　＝　０
のみ。

この条件を満たすのは、
cosｘ　＝　sinｘ　＝　１／√２　　（ｘ　＝　π／４　＋　２ｎπ）
と
cosｘ　＝　sinｘ　＝　－１／√２　　（ｘ　＝　５π／４　＋　２ｎπ）
のみ。

ご参考になりましたら幸いです。