グラフの極値

質問

ｙ＝sinxcosx/((sinx)^3+(cosx)^3) のグラフで極値を与えるｘを求めよ。
普通に微分して、分子が０になるところを探そうと思ったが、うまく因数分解等ができませんでした。
また、計算が楽になるかと思い、分母・分子を（ｃｏｓｘ）＾２で割ってから、微分したけれど、符号が変わるところを限定できませんでした。よろしく、お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>「Yの極値を与えるxでyも極値をとりますから、」ということは、ｙでの極値をすべて求めていることではないのでしょうか。
y'=(1/Y)'=-Y'/(Y^2)
なのでYが未定義またはゼロでない限り、Y'=0を満たすxはすべてy'=を満たします。
逆も
Y'=(1/y)'=-y'/(y^2)からyが未定義またはゼロでない限り、y'=0を満たすxはすべてY'=0を満たすといえます。

Y,yが未定義またはゼロの特異なxの場合
その特異点でyが極値をもつケース（y'=0場合）は別扱いします。特異点以外のyの極値を与えるxはY'=0から得られます。

>例えば、ｙ＝ｘ＾２の場合は、逆数は、明らかに不連続であるが、ｙはｘ＝０で極値をとる。
x=0ではY=1/y=1/x^2なのでx=0は（Yが定義できない）特異点になります。ので、特異点については別扱いする必要があります。（y=x^2の場合Y=1/yの特異点はx=0のみ。）
質問の問題の場合はYの特異点はy=0を満たすxですから
sinxcosx=(1/2)sin(2x)=0　∴x=nπ/2
となります。この特異点のxでy'≠0なのでyが極値をとることはありません。

お礼

y'=(1/Y)'=-Y'/(Y^2)、Y'=(1/y)'=-y'/(y^2)のことから「Yの極値を与えるxでyも極値をとりますから、」がわかるのですね。説明ありがとうございました。これで、極値をもとめる新たな解法を理解でき、他の問題にも使えそうです。これからもよろしくお願いします。

回答No.4

sanori

すみません。誤記がありました。

最後のほうで・・・
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ここで、｛　｝の中身の最小値は２なので、与式＝０　になる条件は、
cosｘ　－　sinｘ　＝　０
のみ。
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と書きましたが、｛　｝の中身の最小値は１です。
ただし、その後の結論に影響はありません。

ｔ＝sin（２ｘ）　と置いて、
｛　｝＝　２　＋　２ｔ　＋　ｔ^2
｛　｝’＝　２　＋　２ｔ　なので、ｔ＝－１のとき｛　｝は極小。
そのとき
｛　｝＝　２　＋　２×（－１）　＋　（－１）^2
　＝　１
｛　｝の最小値は１

お礼

丁寧にありがとうございます。
微分したときの分子をうまく因数分解できなかったのですが、
回答をみてうまくいかなかった点がよくわかりました。
今後ともよろしくおねがいします。

回答No.3

sanori

こんにちは。

【準備】
ｙの分子　＝　sinｘcosｘ

ｙの分母　＝　sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ

（ｙの分子）’　＝　（sinｘ）’・cosｘ　＋　sinｘ・（cosｘ）’
　＝　cos^2ｘ　－　sin^2ｘ

（ｙの分母）’＝　３sin^2ｘcosｘ　－　３cos^2ｘsinｘ
　＝　３sinｘcosｘ（sinｘ　－　cosｘ）

-----

ｙ’＝　｛（ｙの分子）’・ｙの分母　－　ｙの分子・（ｙの分母)’｝／（ｙの分母）^2

-----

【本番】
与式　＝　ｙ’の分子　と置く。

与式　＝　（ｙの分子）’・ｙの分母　－　ｙの分子・（ｙの分母)’
　＝　（cos^2ｘ　－　sin^2ｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　－　sinｘcosｘ・３sinｘcosｘ・（sinｘ　－　cosｘ）
　＝　（cos^2ｘ　－　sin^2ｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　－　３sin^2ｘcos^2ｘ・（sinｘ　－　cosｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（cosｘ　＋　sinｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　＋　３sin^2ｘcos^2ｘ・（cosｘ　－　sinｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛（cosｘ　＋　sinｘ）（sin^3ｘ　＋　cos^3ｘ）　＋　３sin^2ｘcos^2ｘ｝
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（cosｘ・sin^3ｘ　＋　cos^4ｘ　＋　sin^4ｘ　＋　sinｘ・cos^3ｘ　＋　３sin^2ｘcos^2ｘ）

ここで、
１　＝　（cos^2ｘ　＋　sin^2ｘ）^2　＝　cos^4ｘ　＋　２cos^2ｘsin^2ｘ　＋　sin^4ｘ
なので、

与式　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　cosｘ・sin^3ｘ　＋　sinｘ・cos^3ｘ　＋　sin^2ｘcos^2ｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　cosｘsinｘ（sin^2ｘ　＋　cos^2ｘ）　＋　sin^2ｘcos^2ｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　cosｘsinｘ　＋　sin^2ｘcos^2ｘ）
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）（１　＋　sinｘcosｘ・（１　＋　sinｘcosｘ））

ここで、
sinａcosａ　＝　（sin（２ａ））／２　より

与式　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛１　＋　sin（２ｘ）／２・（１　＋　sin（２ｘ）／２）｝
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛２　＋　sin（２ｘ）・（２　＋　sin（２ｘ））｝／４
　＝　（cosｘ　－　sinｘ）｛２　＋　２sin（２ｘ）　＋　sin^2（２ｘ）｝／４

ここで、｛　｝の中身の最小値は２なので、与式＝０　になる条件は、
cosｘ　－　sinｘ　＝　０
のみ。

この条件を満たすのは、
cosｘ　＝　sinｘ　＝　１／√２　　（ｘ　＝　π／４　＋　２ｎπ）
と
cosｘ　＝　sinｘ　＝　－１／√２　　（ｘ　＝　５π／４　＋　２ｎπ）
のみ。

ご参考になりましたら幸いです。

回答No.1

info22_

(sinx)^3+(cosx)^3
=(sinx+cosy)((sinx)^2+(cosx)^2-sinccosx)
=(sinx+cosy)(1-sinccosx)

Y=1/y
=(sinx+cosy)((1/(sinccosx))-1)
=(1/cosx)+(1/sinx)-sinx-cosx

Yの極値を与えるxでyも極値をとりますから、
Yを微分してYの極値を調べれば良いでしょう。
ただし、Yが極小となるxでyは極大となり、
Yが極大となるxでyは極小となります。

Y'=0となるxは
x=π/4+2nπ（ここでYは極小、したがってyは極大）
と
x=5π/4+2nπ（ここでYは極大、したがってyは極小）
ですね。

補足

回答ありがとうございます。
解答の中の「Yの極値を与えるxでyも極値をとりますから、」の部分が、大事なところだと思います。いままでこのような解法があるのをしらなかったので、「Yの極値を与えるxでyも極値をとりますから、」が成り立つのか考えてみましたが、よく理解できなかったので、できれば説明をおねがいします。
また、「Yの極値を与えるxでyも極値をとりますから、」ということは、ｙでの極値をすべて求めていることではないのでしょうか。
例えば、ｙ＝ｘ＾２の場合は、逆数は、明らかに不連続であるが、ｙはｘ＝０で極値をとる。
よろしくおねがいします。