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最大値の最小
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こんにちわ。 >最大値が最小になるのはどれか。 ということですが、もうちょっとグラフ全体で考えてみると・・・ (1)×cos(x)= (2) (2)×cos^2(x)= (4) 以下、cos^2(x)を順次かけていく。 となりますが、-1≦ cos(x)≦ 1(|cos(x)|≦ 1)ですから (1)のグラフと (2)のグラフを比較すると、 (2)のグラフの方が全体的に「低く(x軸に近づいている)」なっている。 ことになりますよね。 ともすれば、最大値自体も小さくなっているように思われます。 以下、同様に考えると、「最大値が最小になる」のは (5)かと・・・
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- Rice-Etude
- ベストアンサー率46% (122/261)
No.2です。 すみません、「最大値が最小」を「最大値が最大」と勘違いしていました。No.3の方がおっしゃる通り(5)が最小ですね。 ただ、考え方は同じで追えます。 #(1)の最大値>(2)の最大値>…となっていきます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ちなみにですが, #3 の考察をもうちょっときちんとやれば微分を使うことなく「最大値が最小になる」のが (5) であることは示せます. 「最大値として考えなければならない」 x において |cos x| ≠ 1 であることに気づけば簡単.
- Rice-Etude
- ベストアンサー率46% (122/261)
まず(1)について、sin(2θ)=2sinθcosθ(2倍角)の公式から (1)=(1/2)・sin(2x)≦1/2 で、最大値は1/2です。 次に(2)について、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1の公式から (2)=sinx(1-(sinx)^2) これをsinx=yと置き換えれば (2)=y(1-y^2) (但し-1≦y≦1) となり、yの定義域が-1以上1以下の3次関数の最大最小を求める問題となります。 これを、微分による増減表を駆使して求めれば (2)の最大値<(1)の最大値 であることが判明します。 次に(3)は (3)=(2)・(cosx)^2 となります。ここで(cosx)^2≦1なので、(3)の値はどんなに大きくても(2)の最大値は超えられないことになります。よって (3)の最大値≦(2)の最大値<(1)の最大値 となります。 あとは、同じように ((n)の式))・(cosx)^2 に分割することを繰り返していけば、(1)が最大であることがわかります。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
一応確認したいのですが, それぞれ (sin x)(cos x) (sin x)(cos^2 x) など, ですか? 本当に (1) が「最大値が最小になる」のか?
お礼
おっしゃるとおりの問題になります。 本当に (1) が「最大値が最小になる」のか? グラフを書かせたら結果が(1)になったので、イメージしていたのとは ちょっと外れていたので、おかしいのではないかという疑念をもって いたので、もう一度グラフを書かせてみたいと思います。
補足
もう一度、グラフを書かせてみたら、 かんがえていたようになりました。 最大値が最小は(5)になりました。 すみませんでした。
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お礼
回答ありがとうございます 1以下のcos^2(x)をかけているのだから 当然と言えば当然ですが、グラフを書いてみたら 、それが間違っていたのですが、・・・・