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別解ありますか

0<x<=π/2のとき、f(x)={2(cosx)^2+2√3sinxcosx+4}/(sinx+√3cosx) の最小値を求めよ。 k=sinx+√3cosx とおいて、f(x)をkで表して 相加相乗平均を用いてもとめることができるのは わかりました。 多少面倒になってもいいですので、他の解法があったら 教えてください。

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  • info22_
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回答No.1

x+π/3=tとおくと　π/3<t≦5π/6 f(x)={2(cosx)^2+2√3sinxcosx+4}/(sinx+√3cosx) f(t-π/3)=g(t)={3+4sin^2(t)}/{2sin(t)}, π/3<t≦5π/6 g'(t)=(1/2)cos(t){1-2cos(t)}{1+2cos(t)}/sin^2(t) π/3<t≦5π/6では　sin(x)>0 g'(t)=0より cos(t)=0,-1/2,1/2 　t=π/2で極大値g(π/2)=7/2 t=2π/3で極小値g(2π/3)=2√3…（★） π/3<t≦5π/6で増減表を描くと（★）が最小値と分かる。 最小値を取るとき x=t-π/3=2π/3-π/3=π/3

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質問者

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回答ありがとうございます この解法の流れは三角関数の合成からもっていった ものだと思いました。 分子の変形はどうやったのかといろいろやってみて、 回答のようになりました。参考になりました。

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noname#171582
noname#171582
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