lim[x→2]x^3 = 8をε-δで証明する
いま「解析入門」(田島一郎著)ε-δ法の勉強中なのですが、その本に載っている方法とは少し違った方法で
lim[x→2]x^3 = 8
を証明してみました。どこかまずいところがあるでしょうか?
∀ε>0,∃δ>0 s.t. 0 < |x-2| <δ⇒ |x^3-8|<ε…… (ⅰ)
を証明すればよい。
εを 0 <ε< 8 で固定しても一般性は失われないから、8-ε> 0 であることを考慮すると
|x^3-8| <ε⇔ -ε< x^3-8 <ε
⇔ 8-ε< x^3 < 8+ε
⇔ (8-ε)^(1/3) < x < (8+ε)^(1/3)
一方
|x-2| <δ⇔ -δ< x-2 < δ
⇔ 2-δ< x < 2+δ (ただし、x≠2)
であるから
2-δ< x < 2+δ ⇒(8-ε)^(1/3) < x < (8+ε)^(1/3)…… (ⅱ)
を満たすδを探せばよい。
2-δ = (8-ε)^(1/3) ⇔δ = 2-(8-ε)^(1/3)
2+δ = (8+ε)^(1/3) ⇔δ = (8+ε)^(1/3)-2
したがって
δ = min( 2-(8-ε)^(1/3), (8+ε)^(1/3)-2 )
なるδは(ⅱ)を満たすので(ⅰ)は証明された。
∴lim[x→2]x^3 = 8
お礼
本屋へ行ったら、ダイレクトXの本が1冊も売ってない。 人気がないらしい。むずいのかなぁ。 Basicの本は10種類以上だったんで、ダントツ1位の人気のようです。 暇をみてネットで購入しよかな。