あり得るのか？？

質問

次の等式を満たす△ＡＢＣの形状をいえ。
(1)bcosC-ccosB=a
(2)sinA=2sinBcosC
(3)a^2sinBcosC-b^2sinAcosB=0

このような問題が出たんですが、１は直角三角形で２は二等辺三角形
３は直角三角形でさらに二等辺三角形でもありました。
式をうまく変形してaとbが等しかったり、角等しいという変形はできたんですが、不安な部分があります。
例えば、うまく変形していくとb=cが証明できて２等辺三角形と判断してしまっていいのでしょうか？？
それ以外にも確認してみたら直角だったという場合があったら怖いです。
３は変形していくと必ず、両方成り立つというふうになるので直角であり、２等辺だと判断できるのできます。
しかし、式変形しない部分でもさらにこういう形状でもあったなんていうことはあり得るんでしょうか？？

回答No.2

33550336

式変形で示されるのは
「bcosC-ccosB=a」ならば「∠Ｂ＝90°の直角三角形」
逆というのは
「∠Ｂ＝90°の直角三角形」ならば「bcosC-ccosB=a」
です。
これは結論の左辺の式を、仮定を使って計算すれば容易に示せます。
これを示すことにより、「bcosC-ccosB=a」を満たすという条件からは、三角形の形状に関して「∠Ｂ＝90°の直角三角形」ということ以上の情報を抽出できない、ということがわかります。

＞これ以外にも三角比と辺を使った式にも表せたということがわかりません。

この文の意味がよくわからないのですが…まだ疑問が残っているようならどこが腑に落ちないのかもう一度教えてもらえませんか？

回答No.1

33550336

厳密に言うと式変形だけから形状を判断するのはまずいですね。
例えば(1)の場合、式を変形すればb^2=a^2+c^2が得られ、△ABCは∠Ｂ＝90°の直角三角形であることがわかりますが、これは、
「bcosC-ccosB=a」が「∠Ｂ＝90°の直角三角形」であるための十分条件であることを示しただけで、貴方の言う通り△ＡＢＣの形状に関してもっと強いことが言えるかもしれません。
ですがこの場合逆も成立するので与えられた条件だけではこれ以上強いことは言えません。（もし言えるなら逆は成立しない。）
なのでもし不安であるなら逆が成立することを確かめればいいのではないでしょうか。
確かめてはいませんがおそらく(2)と(3)も逆が成立するはずです。

補足

逆が成り立つことで確認するのは無理じゃないですか？？
bcosC-ccosB=aとb^2=a^2+c^2の条件で確認するというのはいい案だと思いますが、b^2=a^2+c^2を変形するには結局変形した式を同じ式に戻す逆の操作をするだけであって、これ以外にも三角比と辺を使った式にも表せたということがわかりません。
確認する必要がないことを証明もしくわは説明してもらませんか？？