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中2数学です

「直角二等辺三角形ABCの直角の頂点Aを通る直線に、頂点B,Cからそれぞれ垂線BH、CKをおろす。このとき、△ABH=△CAKであることを証明しなさい。」という中2の長男の問題が解けません。

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△ABHと△CAKにおいて、 △ABCが直角二等辺三角形であることから、AB = CA …… (1) ∠BAH + 90° + ∠CAK = 180°であるから、 ∠BAH + ∠CAK = 90° …… (2) △ABHは∠AHBを直角とする三角形であるから、 ∠ABH + ∠BAH = 90° …… (3) (2)(3)より、∠ABH = ∠CAK …… (4) よって、残りの角である∠BAH = ∠ACK …… (5) (1)(4)(5)より、1辺とそれをはさむ角が互いに等しいので、 △ABH ≡ △CAK

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  • 回答No.3

質問文では「=」となっていますが「≡」として証明を進めます。 (この場合の「=」とは面積が等しいことを示しますので。) △ABHと△CAKにおいて 仮定より AB=CA―(1) ∠BHA=∠AKC―(2) ここで、∠ABH=90°-∠BAH、∠CAK=90°-∠BAHより、 ∠ABH=∠CAK―(3) (1)(2)(3)より 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので △ABH≡△CAK 解答のポイントは直角三角形の合同条件を使う部分です。 垂線を引いて三角形を作る場合、このパターンが多くなります。 まず二等辺三角形である点から斜辺が等しいことが分かるので、あとは「他の1辺」か「1つの鋭角」のどちらが等しくなるのか考えて行きます。

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  • 回答No.2

「直角二等辺三角形ABCの直角の頂点Aを通る直線」 というだけでは、頂点Aを通るどのような直線か特定できません。 頂点Aを通り  ・辺BCに平行な直線  ・角Aを二等分する直線 のいずれかであれば合同条件を満たしますが、 それ以外の場合は合同ではありません。 質問内容から特定できるのは  二等辺三角形で頂角がAなので、AB=AC……(1)  BH、CKは垂線なので、∠BHA=∠CKA=90°……(2) だけで、合同条件には足りません。  

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  • 回答No.1

[証明] まず、△ABCは直角二等辺三角形なので    AB=AC    ∠BAC=90° ー(1) これより、  (180-90)÷2=45   ∠ABC=∠ACB=45° ー(2) 頂点Aを通る直線をADとする。 問題文から    BH⊥AD    CK⊥AD }ー(3) (3)より、∠AHB=∠AKC=90° ー(4)  (2)(4)より、  180-(45+90)=45 ∠BAH=∠CAK=45° ー(5) △ABHと△CAKにおいて    ADは共通である。    AB=ACである。 よって、一辺とその両端の角が等しいので、△ABH=△CAKである。 どうでしょう? 最近やってないので頭の端から引っ張りだしてきてみましたが。。。

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