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この問題においてとてもよく疑問に思ったのです
「Sを位相空間として、Mを部分集合とする。このとき (M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示せ」という問題ですが Sを位相空間として、Mを部分集合とする。というのとMを空でない集合とする。というのとどう違いますか？ イマイチこの問題においては「Mを空でない集合とする。このとき (M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示せ。」と書いても同じなのではないかなと思います。 まず普通に(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示すに当たってもSが位相空間だとか使わないので。ぜひお願いします！
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＞しかも、Mには自然に位相が入る．ならばMを位相空間として考えれば ＞Sが関係なくなるのでは？と思ったのです。違いますか？ 違います．どうちがうのかは，koko_u_uさんのご指摘通り． あとちょいとミスリードしてしまいました． MにSからの位相が入るのは当然なんだけども そうなると「内部」の意味がまるでなくなるわけで． Mはあくまでも「Sの部分集合」であることが本質ですな． ＃なんで意味がなくなるかはご自分でどうぞ．
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- koko_u_u
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>Mを位相空間として考えればいいのでは？ M を位相空間と考えた場合に、「(M.).=M. 」の主張(この場合の内部は 位相空間 M の位相を考えた時のそれ)に果して意味があるのか補足にどうぞ。
- kabaokaba
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＞M.(Mの内部)というのはMに含まれる最大の開集合 Sが位相空間で，Mがその部分集合だから Mには自然に位相が入る． だから，Mに対して開集合だの何だのということが使えるって ことがわからないのですか？ 一般の任意の集合（位相空間じゃない）に対して 内部とか開集合って何？ ともう一度聞いてみる
- koko_u_u
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>こんなことから「Sを位相空間として、Mを部分集合とする」というのは全く使ってないことになります。 「開集合」と無条件に使っていますが、それが定まっていないと意味がないんですね。
- kabaokaba
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＞Mを空でない集合とする。このとき ＞(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示せ。 空でない単なる集合（位相はない）に対して「内部」って何？ ちなみに，この問題， SがMの部分集合であればいいので Mが空集合であっても成立する． この点でも質問者の主張は間違っていたりする． ＞(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示すに当たってもSが位相空間だとか使わないので。 もし本当に使わないのであればその証明は絶対に間違ってる． 最大限好意的に解釈しても 使ってるのに使ってることに気がついてない ということでしょう．
お礼
空であっても(M.).=M.は成り立つので、こちらから訂正をします。 すみません。ちなみにM.(Mの内部)というのはMに含まれる最大の開集合 のことをいいます。したがって、M.は開集合なので(M.).=M.が成立します。こんなことから「Sを位相空間として、Mを部分集合とする」という のは全く使ってないことになります。今のような示し方にしてもどこが どう使われているのですか？全く分からないです。
- koko_u_u
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>というのとMを空でない集合とする。というのとどう違いますか？ それだと、M は S とまったく関係がなく、位相すらも入っていないことになりましょう。 また、空でない、との仮定を置く理由はないと思います。
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