収束、発散に関する証明問題

質問

lim(n→∞) nCj*λ^(n-j) = 0 ⇔　|λ| ＜ 1　(ｊは有限)
（"nCj"の部分はコンビネーションです。）

大学の数値解析で出題された命題です。
(→)方向は対偶により比較的容易に証明できるのですが、(←)方向をどう証明してよいか分かりません。
お分かりの方おられましたら、どうかご教授お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

λ＞0　として証明します。（λ＜0 としても同様です）

k＞j/(1-λ)
となるkを定めると、
kλ/(k-j)＜1
r=kλ/(k-j)　とおくと、
n＞k　なるnについて、
nλ/(n-j)＜r

nCj*λ^(n-j)=nλ/(n-j)*(n-1)λ/(n-1-j)*・・・*kλ/(k-j)*・・・*(j+2)λ/2*(j+1)λ/1

A=kλ/(k-j)*・・・*(j+2)λ/2*(j+1)λ/1
とおくと、
nCj*λ^(n-j)＜r^(n-k)*A

r＜1　なので、
lim(n→∞) nCj*λ^(n-j) = 0

お礼

私自身あまり出来のいい方ではないので回答の考察に手間取ってしまいましたが
なんとか理解できました。
nCjの処理の仕方次第でn-j個の積であらわすことができるのですね。
この式変形には気が付きませんでした。
それを見越したｋの置き方も秀逸です。

λ＜負の時はλの数(n-j)で符号が振れるので場合分けが必要でしたが
確かに同じ過程で解くことができました。

ありがとうございました！

回答No.2

koko_u_u

j は固定なんだから、nCj がどの程度のオーダーで大きくなるか把握で切れば、あとは自明です。

お礼

nCjのオーダーは有限個の数の積であることはわかっているのですが
数式処理がわからなかったもので；；
回答ありがとうございました。