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証明問題の添削依頼
下の問題をやってみたのですけど、これでいいかだれか添削お願いします。 問題)dimV=nとし、U、WをVの部分空間とする。もしdimU+dimW>nならば、U、Wは0以外の元を共有することを証明せよ。 証明)U、Wは有次元であって、dimU=s、dimW=tとおく。いまU、Wが零ベクトルのみを共有する場合を考える。 このとき、 dim(U+W)=dimU+dimW dimU<n、dimW<n となる。 したがって s+t≦n すなわち dimU+dimW≦n である。ゆえにこの命題の対偶が成立するので、元の命題も成立する。 Vをベクトル空間、W1、W2、W3をVの部分空間とするとき、 (W1∩W3)+(W2∩W3)⊂(W1+W2)∩W3 であることをしめせ。 また上の式で等号が成り立つならば、1,2,3を任意に並びかえたi,j,kに対しても (Wi∩Wk)+(Wj∩Wk)=(Wi+Wj)∩Wk が成り立つことを証明せよ。 あと上の問題の方針がつかめないので、すこしヒントをください。
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