-PR-
解決済み

対数vsべき乗

  • 困ってます
  • 質問No.91588
  • 閲覧数82
  • ありがとう数5
  • 気になる数0
  • 回答数3
  • コメント数0

お礼率 53% (212/400)

(1)
lim(n→∞) n^k e^(-n) = 0 (kは任意の自然数)
の証明に関して本に、
    e=(1+h) (h>0)
だから
    e^n = Σ(j=0~n) nCj h^j > nC(k+1) h^(k+1)    …(i)
従ってうんぬんと書いてあったのですが、(i)の不等号が何故成り立つのか分かりません。
kに対しあるn0があってn>n0に関して(i)が成り立つという事を省略して書いているのかなと想像してるのですが
そこで止まってしまっています。
(i)の不等号が成り立つ所以を教えてください。

(2)
lim(n→∞) n^2/a^n
この極限値およびその導き方を教えてください。
(ひょっとしたら(1)の応用で行けるのかな?)

(3)
lim(n→∞) a^n/n!
これに関しては全く糸口が見えません。


以上3題、よろしくお願いします。
通報する
  • 回答数3
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

こんばんは。

(1)について
これは明らかですよ。
e=(1+h)^n
=nC0+nC1×h+nC2×h^2+........+nCn×h^n
>nC(k+1)×h^(k+1)     (0<k+1<n)
ですよね。kは任意の自然数ですから問題は
k+1<n がいえるのか
ということですが、最終的にnは∞にもっていくのですから
最初からnはめちゃめちゃ大きい数だとしておいてかまいませんよね。
だからk+1よりも大きいnをもってきて(i)の不等式などを
議論すればよいのです。
分かりましたでしょうか。
念のため、lim(n→∞) n^k e^(-n) = 0 の証明もかきます。
(i)の不等式の逆数をとって両辺にn^kをかけます。すると
n^k e^(-n) <n^k/(nC(k+1)×h^(k+1))
右辺の分子はnのk次式、分母はnのk+1次式ですから
nを∞にもっていくと右辺は0に行きますね。
左辺は当然0より大きいのでハサミウチでOKです。

(ii)について
>ひょっとしたら(1)の応用で行けるのかな?
その通りです。(1)のeが自然対数の底にみえて分かりづらいですが
eに関しては
>e=(1+h) (h>0)
という条件しかないのですから
1より大きい全ての数eに対して(1)は成り立ちます。
よって、
a>1 のとき lim(n→∞) n^2/a^n =0
また、0<a<1のときはa^nは0に向かうので、明らかにlim(n→∞) n^2/a^n =∞
ですね。

(3)はquotaniさんの通りです。
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

どうも。いつもお世話になります。

実はその後自力で分かったんですよ。(i)の成り立つ訳。
でも理解するまでにかなり苦労しました。それをあっさり明らかと言いきっちゃうshushouさん、すごいっす。

これからもよろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-06-18 00:44:58
-PR-
-PR-

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 28% (2/7)

とりあえず(3)について(他のはネットで見ると何がなんだかわからないから)。
このときa>0ですよねぇ?そうじゃなかったらすんまへん。

lim(n→∞) a^n/n!

N>2aかつN<nなるNを仮定します。
これのnまでの和を求めると
(a/1)*(a/2)*(a/3)*....*(a/N)*(a/(N+1))*......*(a/n)
<(a^N/N!)*(a/N)^(n-N)
<(a^N/N!)*(1/2)^(n-N)--------(イ)
ここで(イ)のnを無限大にする
lim (a^N/N!)*(1/2)^(n-N)
n→∞          ∵n→∞の時(1/2)^(n-N)→0
=0
(イ)が0に収束しました。
a^n/n! < (a^N/N!)*(1/2)^(n-N)
かつ左辺は正の数なので
lim(n→∞) a^n/n! = 0
以上
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

良く分かりました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-18 00:18:25


  • 回答No.2
レベル6

ベストアンサー率 28% (2/7)

ついでに(2)も
こいつにはa>1って条件がほしい。
ロピタルの定理(分母分子をそれぞれ微分しても極限値は等しい)を使います。
lim(n→∞) n^2/a^n
=lim(n→∞) 2n/(a^n*loga)
=lim(n→∞) 2/(a^n*(loga)^2)
=0
当然aが負の数だと対数が定義できないし0<a<1だとわけがわからなくなるので
a>1っていう条件がほしいんです。
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

残念ながらロピタルの定理はまだやってないんですよ。
使えば解ける事を頭に入れておこうと思います。

a<0だと嫌ですけど0<a<1なら∞に発散で別に問題ないんじゃないですかね?
分子は小さくなるし分母は大きくなるから。

ともあれご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-18 00:38:24
このQ&Aで解決しましたか?
AIエージェント「あい」

こんにちは。AIエージェントの「あい」です。
あなたの悩みに、OKWAVE 3,500万件のQ&Aを分析して最適な回答をご提案します。

-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


専門家があなたの悩みに回答!

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ