微分の話です。高校生です

質問

僕はどうして微分を物理でするのか知りたいです。
それである本にのっていて読んだのですが、微分を使う意味というのがすこしわからなかったので質問します

たとえば、v-tグラフでdv/dtといえば、接線の傾きをあらわしています。
「接線の傾き＝加速度a」の関係は素直に分かる。
と書いていたのですが、僕は素直に分かりません
どうして「接線の傾き＝加速度a」の関係がなりたつのでしょうか？

x-tグラフなら接線の傾きがdx/dtは何をあらわすことになるのでしょうか？

ここで僕が思ったことはx-tグラフの接線の傾きdx/dtはx/t=ｖというのが成り立つからdx/dt=vとなるのでしょうか？
それだと物理で微分を使う意味ってあまり意味無くないですか？
最初からs/tとすればいいので

v-tグラフとはどういう意味ですか？
v=「比例定数」ｔとなるグラフのことでしょうか？

回答No.4

jamaisvu · ベストアンサー

たぶん質問者さんが理解できない理由は、失礼ながら微分の定義を良く理解していないからではないかと思います。(数III習ってないと微分の理解は難しいかも)
とりあえず、速度と加速度の定義、微分の定義を理解する必要があります。
現在の高校物理では、速度と加速度の定義を余り詳しく教えないので物理を理解しにくくなっています。

簡単に言うと、速度は「単位時間当たりの位置の変化量」で、時間の極限を取ると、微分の定義に等しくなると言う事です。
加速度の場合も考え方は同じです。

1階微分は、その曲線での接線になりますので、
等加速度運動のv-tグラフの場合、傾きと等しくなります。
直線の傾きの式は、その直線の式と等しくなります。

x-tグラフなら接線の傾きdx/dtは速度を表します。
速度は「単位時間当たりの位置の変化量」
つまり、
物体が時刻T1,位置X1から、時刻T2,位置X2まで移動したとすると、
その移動の間のとある時刻t1,位置x1から、時刻t2,位置x2に移動した時の、
その平均速度は、
(x2-x1)/(t2-t1)
で表されます。

この時、時間差”t2-t1”を縮めて行き、その差が0の極限をとった場合、
その時刻t1(=t2 *)の点x1(=x2)における瞬間速度が得られます。
言い換えると、時間の変化量Δt(=t2-t1)→0の極限をとった場合、
時間の変化量Δ当たりの位置の変化量Δx(=x2-x1)が瞬間速度になります。
つまりこれは、微分の定義とそのものです。
数式で表すと、
lim_Δt→0=Δx/Δt≡dx/dt
です。

*（時間差が0の極限と言う事はt2=t1として考えても良い）

加速度の場合も考え方は同じです。
加速度の場合は、速度の微分ですので、
加速度α = dv/dt = 1/dt (dx/dt) = d^2x/dt^2

説明下手ですみません。
かえって分かりにくくなったかもしれません。
何か分からない事があったら補足してください。

とりあえず、物理学の根本を理解する為には、高校数学（数III,Cまで）をしっかり理解している必要があるという事です。
理解の近道は数学にあり、です。

お礼

ありがとうございました
よくわかりました

回答No.3

ybnormal

ヒントだけ。

> どうして「接線の傾き＝加速度a」の関係がなりたつのでしょうか？

接線の傾き＝Y軸方向の変化/X軸方向の変化
加速度＝速度の変化/時間の変化
V-tグラフでは、X軸＝時間、Y軸＝速度

>　x-tグラフなら接線の傾きがdx/dtは何をあらわすことになるのでしょうか？
X軸＝時間、Y軸＝位置
dx/dt＝位置の変化/時間の変化＝？？？

>ここで僕が思ったことはx-tグラフの接線の傾きdx/dtはx/t=ｖという
>のが成り立つからdx/dt=vとなるのでしょうか？
>それだと物理で微分を使う意味ってあまり意味無くないですか？
>最初からs/tとすればいいので
s/tは単にXとYの値の比で接線の傾き、つまり速度ではありません。

>　v-tグラフとはどういう意味ですか？
縦軸（Y)が速度、横軸（X)が時間のグラフ。

回答No.2

shintaro-2

>ここで僕が思ったことはx-tグラフの接線の傾きdx/dtはx/t=ｖというのが成り立つからdx/dt=vとなるのでしょうか？

違います。次元もしくは定義としては常に、v=x/tですが
数値としてのv=x/tが意味するのは、等速運動の場合か、平均の速度を出す場合でだけです。
Δx=x2-x1、Δｔ=t2-t1として、
limΔx→０、limΔt→0とすれば、
加速度運動をする場合の、瞬間速度v=dx/dtとなります。

>v-tグラフとはどういう意味ですか？
>v=「比例定数」ｔとなるグラフのことでしょうか？

それだけではありません。
世の中、加速、減速が絶対にあります。だからｖ＝∫atなのです（aは時間の関数かもしれない）。
新幹線だって常に320km/hではなく、駅では時速0kmです。
ロケットだって、地球の引力圏を脱出するときは9.6m/sですが、
発進時は、限りなく0km/sです。
物理の一般的問題では、放物線ですね。物を上に投げれば頂点で０m/sとなる加速度運動です。

回答No.1

dogdogsdog

おはようございます。
私も物理の微積には悩まされたのでお気持ち察します。
たいした大学に通っているわけではないですがお答えします。

まず、仮に加速度がaであったとします。それを時間で積分するとat+C
（Cは積分定数）となります。ここでこの式をよく見るとどこかで見たことありませんか？そうです、速さです。そしてCは初速度となります。次にそれをまた積分すると 1/2at^2+Ct+Xとなり、変位の式です。ここでXは積分定数ですがこれは初期位置となります。
まとめると
∫a dt= v 、 ∫v dt= x
dx/dt=v 、 dv/dt=a
積分は面積、微分は傾きをイメージするとよいと思います。

また、運動方程式では ma=F の両辺に速度vをかけて積分するとエネルギー保存の式が出てきます。なぜでしょうか？それはFvがなにを表しているかを考えてみるとわかります。Fvは仕事率ですね。それを積分するとエネルギーになるなんてなるほどと感動しませんか？そしてｖをかけずにそのまま積分をすると運動量変化＝力積の式になります。

要するにここまで理解できたあなたは運動方程式を立てたらすでに力学の問題のほとんどが問われる前に解けてしまいます。それゆえ微積を使うと早く正確に解答できるというものです。

これがわからなかったもしくはもっと知りたいと思ったら「微積で解いて得する物理」（オーム社）を買うとすっきりすると思います。
書店で立ち読みしたらわかりやすそうでしたが高校生の参考書にしては高いです。（1700円）私は買って損はないと思いますよ。