単身動の公式について

質問

x=Asinωt
v=dx/dt=Acosωt
a=dv/dt=-Aω^2sinωt

単身動の式なのですが、
なぜ位置ｘを微分すると速度ｖ、速度ｖを微分すると加速度aが求められるのでしょうか？
ちょっとちんぷんかんぷんです・・・。
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

単振動以前の速度とは何か，という問題ですね．
kajyukun さんや First_Noel さんの言われるとおりなんですが，
ちょっとおはなし風にしてみました．

100 [m] を 10 [s] で走った．
えっと，速度は 10 [m/s] だな．
ちょっと待てよ，スタートのときは速度は遅くて，
だんだん加速して早くなるんだよな．
10 [m/s] はいわば平均速度だな．

どうしたらいいかな．
もっと細かく分けるか．
1 [s] ずつ分割して，
最初の 1 [s] に走った距離，
次の 1 [s] に走った距離，，．．．
を測れば
最初の 1 [s] の間の速度，次の 1 [s] の間の速度...
が求められて，速度の変化がわかるな．

え，1 [s] の間にも速度が変化するんじゃないかって？
じゃあ，0.1 [s] 刻みにする？
その間にも速度が変化するって？
参ったな，いくら細かくしても同じパターンで突っ込まれて，切りがないよ．
落語で，ご隠居が突っ込まれて困るのがあったよね．

それじゃ，Δt [s] で Δx[m] で走ったとするか．
速度は Δx/Δt [m/s] で，Δt をうんと小さくすればいいよな．
ということは，極限取れってことだから
(1)　　lim_(Δt→0) (Δx/Δt)
がその瞬間その瞬間の速度か．
あれ，(1)はどこかで見たぞ．
そうだ，微分の定義そのものだ．
(2)　　dx/dt = lim_(Δt→0) (Δx/Δt)
だったんだ．
そうすると，速度ってのは
(3)　　v = dx/dt
なんだ．
わかった！

加速度というのは速度の変化の割合ですから，
上のおはなしの x を v に置き換えて適当に話を作り変えてください．
(3)に相当するものが
(4)　　a = dv/dt
で，(3)を使えば
(5)　　a = d^2 x/dt^2
と書くこともできます．

お礼

わかりやすいお話でした(＾＾)
数３は今やってる最中なんですけど、微分の定義になるんですね～。
参考にさせていだだきます。
どうもありがとうございました。

回答No.4

ONEONE

＃１～３までの方のお話を聞いた上で
垂直投げ上げの公式について
y=vot-gt^2/2
yをｔで微分すると
v=vo-gt
vをｔで微分すると
a=-g
と同様に速度、加速度が求まりますね。

逆に加速度から積分すれば
a=-g

v=-gt+Ｃ1（Ｃ1は積分定数）
t=t1でのv速度がわかれば積分定数が求まります。
t=0のときv=vo(初速度＝vo)ならばＣ=vo
だから
v=vo-gt

vをｔで積分して
x=vot-gt^2/2+Ｃ2（Ｃ2は積分定数）
t=0でｘ＝ｘoとするとＣ2=xo
x=vot-gt^2/2+xo
となります。

v-tグラフで面積がキョリになるというのを知っていますか？
あれは積分しているのと同じですよね。

お礼

毎回毎回どうもありがおうございます。
いつも助かってます(＾＾；

微分したり積分したりすると、今まででてきた公式がたくさんでてくるんですね！
なんか魔法みたいです(＠＠

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.2

First_Noel

＞なぜ位置ｘを微分すると速度ｖ、速度ｖを微分すると
＞加速度aが求められるのでしょうか？

それは，速度や加速度と言うものがそう定義されているからです．
それらの関係の数学的な表現として微積形式で記述されます．

恐らく・・・最初に位置ありき，なのだと思います．
そして，位置を用いて速度はｄｘ／ｄｔ，加速度はｄ２ｘ／ｄｔ２である，と．．．

お礼

定義だからですか。
定義だってことを覚えておきたいと思います。
ご回答有り難うございました。

回答No.1

kajyukun

単振動にかぎらず位置ｘを時間tで微分すると速度ｖ、速度ｖを微分すると加速度aが求められます。

距離と時間のグラフを書くとわかると思いますが、グラフの傾きが速度になりますよね。微分は傾きのことですから。
同様に速度と時間のグラフの傾きが加速度になります。

お礼

＞距離と時間のグラフを書くとわかると思いますが、グラフの傾きが速度になりますよね。微分は傾きのことですから。
あ～確かにそうでした(＾＾；
ご回答有り難うございました。