数列とシグマ計算

質問

数列{An}は初項3、公差2の等差数列とすると一般項An=3+2(n-1)=2n+1である。
このときΣ(註:k=1からnまで　以下略)1/[(Ak)*{A(k+1)}]を求めよ。

・・・という問題が出されたのですが、[(Ak)*{A(k+1)}]=(2k+1){2(k+1)+1}=(2k+1)(2k+3)より、
Σ1/[(Ak)*{A(k+1)}]=Σ1/{(2k+1)(2k+3)}=Σ1/(4k^2+8k+3)
までは変形できたのですが、この後がわかりません。

どなたかご指南頂けないでしょうか。

回答No.3

lusa

回答ではないのですが、これを知っておくと便利だろうと思うので
書きたいと思います(見づらいと思いますが…)。

***部分分数分解***
1/(n+a)(n+b) = 1/(b-a) * {1/(n+a) - 1/(n+b)}…(1)

1/(n+a) - 1/(n+b) = (b-a)/(n+a)(n+b)
両辺を(b-a)で割ると(1)になって、証明が出来ます。

あとは、nの係数が1以外(質問では2ですが)ならば
最初に外に出します。
1/(2k+1)(2k+3) = 1/4(k + 1/2)(k + 3/2)
= 1/4 * 1/(k + 1/2)(k + 3/2)
= …

回答No.2

rnakamra

1/{(2k+1)(2k+3)}=(1/2){1/(2k+1)-1/(2k+3)}
と変形できます。

Σ1/{(2k+1)(2k+3)}=Σ(1/2){1/(2k+1)-1/(2k+3)}
=(1/2)=Σ{1/(2k+1)-1/(2k+3)}
=(1/2)[{1/(2*1+1)-1/(2*1+3)}+{1/(2*2+1)-1/(2*2+3)}+{1/(2*3+1)-1/(2*3+3)}+・・・+{1/(2*(n-1)+1-1/(2*(n-1)+3)}+{1/(2*n+1)-1/(2*n+3)}]
後は()の中を計算して次に{}を開いてみるとどうなるかわかると思います。

回答No.1

egarashi

展開はまずい…
部分分数分解でしょう。

1/(2k+1)-1/(2k+3)=2/{(2k+1)(2k+3)}

より、
1/{(2k+1)(2k+3)}={1/(2k+1)-1/(2k+3)}/2

を利用すれば、爽快な答えが出ます。