数列の第n^2項？

質問

｛an｝を初項a1=A,公差dの等差数列とする。自然数jとkに対して、S(j,k)=Σ(i=j→k)ai=aj+aj+1+aj+2・・・+akとおく。
(1)定数Aとdの値を求めよ。
(2)S(n+1,n^2)/n(n-1)=αn^2+βn+γを満たすα,β,γを求めよ。
(3)S(n+1,n^2)＜0となるnの最小値Nを求めよ。
(4)Tn=Σ(i=1→n)a5iとおくときlimn→∞(Tn)^2/S(n+1,n^2)の値を求めよ。

(2)n^2項までの和の意味がわからないです。

回答No.5

atkh404185

(1)
S(1,10)=800 より
10(2A+9d)/2=800
10(2A+9d)=1600
2A+9d=160 ・・・・・・（ア）

S(11,20)=200 より
S(1,20)-S(1,10)=200
20(2A+19d)/2-800=200
10(2A+19d)=1000
2A+19d=100 ・・・・・・（イ）

（イ）-（ア）より
10d=-60
d=-6 ・・・・・・（答）

（ア）に代入して
2A-54=160
2A=214
A=107 ・・・・・・（答）

(2)
S(n+1,n^2) の式の求め方は、２通りあります。

☆１　等差数列の初項から第ｎ項までの和Snは　

　　Sn=n{2a+(n-1)d}/2

（この問題は Sn=S(1,n) です。）

☆２　初項 a, 末項 l, 項数 n の等差数列の和Snは

　　Sn=n(a+l)/2

☆１の方法で解くと

S(1,n)=n{2×107+(n-1)×(-6)}/2
=n(214-6n+6)/2
=n(220-6n)/2
=n(110-3n)
だから、

S(n+1,n^2)/n(n-1)
={S(1,n^2)-S(1,n)}/n(n-1)
={n^2(110-3n^2)-n(110-3n)}/n(n-1)
=(110n^2-3n^4-110n-3n^2)/n(n-1)
={110n(n-1)-3n^2(n^2-1)}/n(n-1)
={110n(n-1)-3n^2(n+1)(n-1)}/n(n-1)
=110-3n(n+1)
=110-3n^2-3n
=-3n^2-3n+110

S(n+1,n^2)/n(n-1)=αn^2+βn+γ

であるから

αn^2+βn+γ=-3n^2-3n+110

したがって、

α=-3, β=-3, γ=110 ・・・・・・（答）

☆2の方法で解くと

an=107+(n-1)×(-6)
=107-6n+6
=113-6n

よって、

S(n+1,n^2)/n(n-1)
=[{n^2-(n+1)+1}{113-6(n+1)+(113-6n^2)}/2]/n(n-1)
=(n^2-n-1+1)(113-6n-6+113-6n^2)/2n(n-1)
=(n^2-n)(-6n^2-6n+220)/2n(n-1)
=2n(n-1)(-3n^2-3n+110)2n(n-1)
=-3n^2-3n+110

S(n+1,n^2)/n(n-1)=αn^2+βn+γ

であるから、

αn^2+βn+γ=-3n^2-3n+110

したがって、

α=-3, β=-3, γ=110 ・・・・・・（答）

(3)
n=1 のとき
n+1=1+1=2
n^2=1^2=1
より
S(n+1,n^2)=S(2,1)
となるので、
n>=2 としてもよい。

このとき、
n(n-1)>0
であるから、

S(n+1,n^2)<0
S(n+1,n^2)/n(n-1)<0
-3n^2-3n+110<0
3n^2+3n-110>0
3n^2+3n>110
n^2+n>110/3=36+2/3（＝36.6・・・） ・・・・・・（ウ）

ここで、
n=5 のとき
n(n+1)=5・6=30(<110/3=36+2/3)
n=6 のとき
n(n+1)=6・7=42(>110/3=36+2/3)

《n>=2 において、n の値が増加すると
n(n+1)の値も増加する》

したがって、（ウ）すなわち S(n+1,n^2)<0
となるnの最小値Nは
N=6 ・・・・・・（答）

(4)
a5i=113-6・5i
=113-30i

よって、

Tn=Σ(i=1→n)a5i
=Σ(i=1→n)(113-30i)
=113n-30×n(n-1)/2
=113n-15n^2+15n
=-15n^2+128n
=n(-15n+128)

したがって、

limn→∞(Tn)^2/S(n+1,n^2)
=limn→∞{n^2(-15n+128)^2/n(n-1)(-3n^2-3n+110)}
=limn→∞{(-15+128/n)^2/(1-1/n)(-3-3/n+113/n^2)}
=(-15)^2/{1・(-3)}
=-75 ・・・・・・（答）

分子 n^2(-15n+128)^2 を　n^4 で割ると、

n^2(-15n+128)^2/n^4

n^2　で約分ができ

=(-15n+128)^2/n^2

これを

=(-15n+128)(-15n-128)/n×n

=(-15n+128)/n×(-15n+128)/n

のように式変形すると

=(-15+128/n)(-15+128/n)

=(-15+128/n)^2　→(n→∞) (-15)^2

となり、分母を同じように n^4 で割ると

n(n-1)(-3n^2-3n+110)/n^4
=(n-1)(-3n^2-3n+110)/n^3
=(n-1)/n×(-3n^2-3n+110)/n^2
=(1-1/n)(-3-3/n+110/n^2)　→(n→∞) 1×(-3)

になりますね。

回答No.4

bran111

a(n)=A+(n-1)d
S(j,k)=Σ(i=j→k)a(i)=Σ(i=j→k)[A+(i-1)d]=Σ(i=j→k)[A-d+id]=(A-d)[k-(j-1)]+dΣ(i=j→k)i
Σ(i=j→k)i=Σ(i=1→k)i-Σ(i=1→(j-1))i=k(k+1)/2-(j-1)j/2=(k+j)(k-j+1)/2
S(j,k)=(A-d)(k-j+1)+d(k+j)(k-j+1)/2=(k-j+1)[A-d+d(j+k)/2]=(k-j+1){A+[(j+k)/2-1]d}

(1)S(1,10)=800, S(11,20)=200
(10-1+1){A+[11/2-1]d=800　⇒　10A+10(11/2-1)d=10A+45d=800 (1)
(20-11+1){A+[31/2-1]d=200　⇒　10A+10(31/2-1)d=10A+145d=200 (2)
(1),(2)　⇒　A=107, d=-6

(2)S(n+1,n^2)=(n^2-n-1+1){A+[(n^2+n+1)/2-1]d}=(n^2-n)[A+(n^2+n-1)d/2]
S(n+1,n^2)/n(n-1)=A+(n^2+n-1)d/2=αn^2+βn+γ
　⇒ α=d/2=-3, 　β=d/2=-3, γ=A-d/2=107+3=110

(3)S(n+1,n^2)=(n^2-n)[A+(n^2+n-1)d/2]=(n^2-n)[A+(n^2+n-1)d/2]=-3n(n-1)(n^2+n-110/3)<0
　⇒ n(n-1)(n^2+n-110/3)>0
nは自然数、n≧1、ゆえに
n^2+n-110/3＞0 (3)
となるnの最小値Nを求めればよい。
(3)で等号を仮定すると
　　n=-1/2+(1/2)√(443/3)=5.6..
よってＮ＝6

(4)Tn=Σ(i=1→n)a5iとおくときlimn→∞(Tn)^2/S(n+1,n^2)
Tn=Σ(i=1→n)a(5i)=Σ(i=1→n)[a+(5i-1)d]=(A-d)n+5dΣ(i=1→n)i=(A-d)n+5dn(n+1)/2
limn→∞(Tn)^2/S(n+1,n^2)=lim(n→∞)[(A-d)n+5dn(n+1)/2]^2/{(n^2-n)[A+(n^2+n-1)d/2}
分子分母ともnの４次式であり、極限値は４次の係数の比になるので
limn→∞(Tn)^2/S(n+1,n^2)=(25d^2/4)/(d/2)=25d/2=-75

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

shintaro-2

>(2)n^2項までの和の意味がわからないです。

質問の意図を理解できません。

S(j,k)=Σ(i=j→k)とありますから、
S(n+1,n^2)は、a[n+1]項からa[n^2]項までの和というだけの話なのですが、
何がわからないのですか？

S(n)=１／２・ｎ・{A+［A＋(n-1)d]}なので
S（n^2）-S(n+1)ということでしょ？

回答No.2

atkh404185

S(j,k)=Σ(i=j→k)ai=aj+aj+1+aj+2・・・+ak ・・・・・・（１）
とおく。から、
Ｓ(n+1,n^2) は
（１）に j=n+1, k=n^2 を代入すればよいのです。

だから、

Ｓ(n+1,n^2)=Σ(i=n+1→n^2)=a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+・・・・+a((n^2)-1)+a(n^2)

になります。

例えば、
n=3 とすると
n+1=3+1=4,
n^2=3^2=9
だから、
Ｓ(4,9)=a4+a5+a6+・・・・+a8+a9
になりますね。

回答No.1

bran111

>(2)n^2項までの和の意味がわからないです。

たとえばn=10とすれば第１００項までの和という意味です。

(1)のA, dを求めるための条件が欠落しています。

補足

S(1,10)=800
S(11,20)=200のときです。すみません。n+1～n^2までの和ですが一般的にどう対処すればいいんでしょうか？