素数の平方根の一次独立性

質問

先日趣味で思いついた問題で、

Ciを有理数とするとき、

C1+C2(√２)+C3(√３)+C4(√５)+C5(√７)+C6(√１１)+C7(√１３)+...+Cn(√qn)=0ならばC1=C2=...=Cn=0を示せ。ただしqnはｎ番目の素数とする。

というものを考えています。ｎが２の場合は背理法で簡単です。
この場では解いてくださいと要求しているわけではなく（もちろん書いていただければそれはそれでありがたいです。）何か面白いアプローチや、こういう風に拡張したほうが…など様々な意見をお伺いしたいです。
お時間割いていただける方は是非よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

平方因子を含まないから、「二次まで」なんでしょう？
三次以上掛けても、√ の外に括りだされるだけだから。
m = 1 ～ 2^n の 2^n の意味を考えたら、
そんな強引な曲解はできないハズですよ。

補足

いえ、おっしゃっていることはわかります。
私が言ったのは、たとえば√（2*3*5）のようなものも含めて拡張したらどうか、という話です。

回答No.1

arrysthmia

n 個の素数 p_k (k = 1 ～ n について
｛ p_k ｝の有理数上一次独立を示すより、
p_k のあらゆる二次までの積 a_m (m = 1 ～ 2~n) について
｛ √a_m ｝の一次独立を示すと考えたほうが、
考えやすいと思います。
これを、n (m ではなく) に関する
帰納法で！

補足

ご回答ありがとうございます。
やはり拡張したほうが示しやすそうですね。一回二乗することを考えられてご回答のような方針を頂いたのだと思いますが、二次までの積ではなく、Ｎ次までの(平方因子を含まない)積まで拡張したほうが解りやすいと考えました。

もし二次までで帰納法が可能でしたらご教示いただけるとありがたいです。よろしくお願いします。