風力エネルギー、抗力についての問題です

質問

過去問でつまずいてしまい、風力エネルギーに関しての資料が乏しくわからないので良ければ教えてください。

１、　式(1)を導きなさい
２、　式(3)を求めなさい

風速をＶ、風を受ける羽の面積をＡ、空気の密度をρとおくと、風車が獲得する動力(出力)Ｐは、次式で与えられる。

Ｐ＝Ｃp・１／２・ρ・Ａ・Ｖ^３　　　・・・(1)

ここで、Ｃpはパワー係数で風の持つエネルギーを風車が獲得する効率を意味し、風の持つエネルギーを全て動力に変換したときには、Ｃｐ＝１となる。しかし、これは風車を通過した風の速度がゼロになることを意味し、これはありえない。
風車が得る最大の動力の理論解析は、風車の羽の回転円に相当する円筒の中を流れる空気から得られる動力として得られており、次式で表わされる。

Ｐmax＝１／２・ρ・Ａ・Ｖ^３・４ａ(１－ａ)^２　　・・・(2)

ここで、ａは空気の流れの状態を表す係数である。
したがって、式(1)と式(2)から最大のＣpは、次式の値になる。

Ｃp.max＝１６／２７＝０．５９３　　　　　・・・(3)

これは、ベッツ係数と呼ばれている。実際の風車のＣpは０．３５～０．４５である。

全く分かりません。
宜しくお願いします。

回答No.1

noname#252183

Ｐ＝Ｃp・１／２・ρ・Ａ・Ｖ^３　　　・・・(1)

風の運動エネルギー Ｐ(N/s)＝Ｃp・(1/2)・風の質量(kg/s)・風速Ｖ(m/s)^2

1秒間に風車を通過する空気の体積は、風車が作る円の面積*流速（円筒形）に等しいので、
風の質量(kg/s)＝ 受風面積Ａ(m^2)・空気密度ρ(kg/m3)・風速Ｖ(m/s)
ちなみに
受風面積Ａ(m^2)＝（π/4)・風車直径(m)^2

から出ます。この(1)と

Ｐmax＝１／２・ρ・Ａ・Ｖ^３・４ａ(１－ａ)^２　　・・・(2)

を比較すると、Ｃｐ＝４ａ(１－ａ)^２　で、これは単純にａの３次関数。
最大値を求めるため、ｄＣｐ/ｄａ＝４(１－ａ)(１－３ａ)＝0　とすると、
ａ＝1　または　1/3 のとき極値。ａ＝１ではＰmax＝0　となり不適で、ａ＝１／３。

Ｃｐ＝４ａ(１－ａ)^２　に　ａ＝１／３　を代入すると、
Ｃｐmax＝4*(1/3)*(2/3)^2＝１６／２７。（証明了）