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力学 エネルギー保存則

☆もんだい☆ P(質量m)とQ(質量M)を糸で結び、滑車を介して傾角30度の斜面にQを置いて静かに放した、Qが距離Lだけ滑り降りたときの速さvは?(斜面のどう摩擦係数はμと与えられています)          状況としては /|←こういう形のところの一番上の頂点に滑車が着いていて、斜面にPが置かれていて、Qは右側にたれさがっているという感じです。 ここで解説の式を見ると、Qの失った位置エネルギー=PQの運動エネルギーの増加、Pの位置エネルギー増加、摩擦熱←これも発生したものだから(+する) と変換されたエネルギーすべてを足しています。 このように位置エネルギーを元に考えればよかったのですが、初め自分は運動エネルギーから考えてしまいました・・・。  そこで、QとPの運動エネルギーになったときには摩擦が発生していて、位置エネルギーが変化したのだから、 QとPの運動エネルギーの和←ここではQ,Pは同じ速さで運動するからm+Mとして運動エネルギーの式にして これは斜面を下がったのだから、Qの位置エネルギーが減少して、Pが増加と考えました。 でも答えの式の一部に(1-√3×μ)というのが含まれているのです。 自分の考えでは、運動エネルギー=摩擦+位置エネルギーの変化だったので、(μ√3-1)が含まれる式になってしまい、( )の中身が逆になってしまいました。 解答では、摩擦が負の符号になっています。 自分が立てた式からすると運動エネルギーに含まれているvを v=の式にしたいから、vにかけられているものを右辺の分母に持ってくるので、右辺の符号の変化はありません。 なんかまとまりの無い文章ですみませんが、考え方の間違っているところを指摘していただければとおもいます。よろしくおねがいします

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  • 物理学
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  • 回答No.3
  • F_P_E
  • ベストアンサー率43% (26/60)

先ほどのものです。 Qが斜面にあり、Pが垂れ下がっているものとして、答えていきます。 あなたの間違いはおそらく ”運動エネルギー=摩擦+位置エネルギー” と考えたことでしょう。これではなく、正しくは ”運動エネルギー + 摩擦=位置エネルギー” ですね。結局あなたのテキストと同じ考えになってしまいましたけど。。。 さて、さきほども申し上げましたが、このように考えてみてはどうでしょう。 P、Qのはじめの位置をXp、Xqとし、P,Qが速度vで動いている瞬間の位置をYp、Yqとでもしましょう。P,Qの位置エネルギーの基準点はXp、Xqにとります。このとき、P、Qが動きはじめる前(P,QがXp、Xqにいるとき)のエネルギーEは E=(Pの運動エネルギー)+(Qの運動エネルギー)+(Pの位置エネルギー)+(Qの位置エネルギー) =0+0+0+0 となります。最初の2項はv=0から来るものです。また、最後の2項はP,Qが位置エネルギーの基準点にいるためです。 さて、手を離して、P,Qが動き始めました。速度vになった瞬間を考えましょう。このとき、Pは基準点からLだけ上昇したので位置エネルギーは+mgLです。また、Qは基準点からL*sin(30°)だけ下降したので位置エネルギーは-MgL*sin(30°)です。また、摩擦力はμMg*cos(30°)ですね。したがってこのときの全エネルギーE’は E’=(Pの運動エネルギー)+(Qの運動エネルギー)+(Pの位置エネルギー)+(Qの位置エネルギー)+(発生した摩擦による熱エネルギー) =1/2*m*v^2 + 1/2*M*v^2 + (+mgL) + (-MgL*sin(30°)) + μMg*cos(30°)*L エネルギー保存から E=E’ ⇒ 0 = 1/2*m*v^2 + 1/2*M*v^2 + (+mgL) + (-MgL*sin(30°)) + μMg*cos(30°)*L このように考えてみてはどうでしょう。あとはこの式をいじったり、項を右へ左へ動かしてみれば、テキストの解答と同じ式になるはずです。 がんばってください。

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質問者からのお礼

動き始める前のエネルギーを0にするってのはいいですね。アリガトウございました! こうすれば変な間違えは減りそうです。たすかります!

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
noname#40706
noname#40706

物体はなぜ速くなったのですか。それはQが位置エネルギーを犠牲にしたからです。なぜ摩擦熱が発生したのですか。それもQの位置エネルギーが減ったからです。Pはなぜ上昇したのですか。やはりQのおかげなのです。これが解説者の言いたかったことです。ただしここでQの失った位置エネルギー=となっていますがこの値はプラスで考えていることに注意をしてください。 あなたの考えた式は  運動E=摩擦+位置Eですね。これでは摩擦が大きくなるとさらにスピードアップしてしまいます。これはまずいでしょう。つまり摩擦は運動エネルギーを減らすのです。というか 位置エネルギーが100%運動エネルギーに効率よく変換できず、熱となって消えてしまうと考えたらよいと思います。力学的エネルギー(運動+位置)は保存されません。熱も含めたら保存則は成り立っています。失った位置エネルギーは運動エネルギーの増加と熱の発生に役立ったということです。

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質問者からのお礼

そうですよね!摩擦がふえるのに速くなるっていうことは常識的におかしいですよね。式で納得するより、こうした感覚で納得できるとすごいすっきりします。 ありがとうございました!

  • 回答No.2
  • ht1914
  • ベストアンサー率44% (290/658)

解説のようにやってもあなたのようにやっても同じになるはずです。主語が位置エネルギーでも運動エネルギーでも同じです。ただそれにつじつまが合うようにきちんと他の量を表現しないといけません。符号が違ってきたというのはその辺で混乱が起こっているからでしょう。 質問の文章の第1段落と第2段落でもPとQが混乱していますね。第1段落ではQが斜面の上にあります。第2段落ではQが垂れ下がっています。「傾角30°」というのも曖昧です。普通は「水平に対して30°」のように「~に対して」という表現をします。 この辺がはっきりしないと私にも答えようがないのです。一度問題を整理し直してみて下さい。丁寧に解答も作り直してみて下さい。和をとるのか差をとるのかが違っているかもしれません。きちんと整理していくと自分でも間違いの理由がわかってくると思います。自分で間違いがわかるというのが一番いいことだと思います。

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質問者からのお礼

そうですね、やり方が違っても同じにならなきゃいけませんもんね。 ありがとうございました。 すみません、PとQは逆になってしまいました。 文章は問題文まるうつしなのですが、あいまいだったので、イメージを書いたわけですが、そのPとQが逆に取り違えてしまってよけい意味分からなくなってしまいました・・・すみません。

  • 回答No.1
  • F_P_E
  • ベストアンサー率43% (26/60)

はじめまして。 答える前にまず、質問の内容が矛盾しているような気がします。Pが斜面にあるのか、Qが斜面にあるのか。どちらでしょうか? この問題は、要はエネルギーの保存を式にしろ、ということです。エネルギー保存とは(難しくいうと)時間に対して対称性があるということです。ですから、 "QとPの運動エネルギーになったときには摩擦が発生していて、位置エネルギーが変化したのだから。。。" とか、考えるよりも、 (P(もしくはQ)が動く前(つまりv=0)の全エネルギー)=(P(もしくはQ)が速度vの状態での全エネルギー) という等式を考えて、それぞれの状態での運動エネルギーや位置エネルギーを考えて行けばよいでしょう。 PとQの矛盾を訂正されてから、もう少し詳しくお答えしたいと思います。

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