高校物理、力学的エネルギーの保存

質問

滑らかな水平面上に質量Mの球Qがばね定数ｋのばねを付けられた状態で置かれている。
左から質量ｍの球Pが速度ｖ０で進んできた。
ばねの縮みの最大値ｌを求めよ。

ばねの縮みが最大の時、Qから見たPの相対速度が０である。（これはわかります）
力学的エネルギー保存則より、
(1/2)(mv0)^2=(1/2)(mv)^2+(1/2)(Mv)^2+(1/2)l^2
（疑問）
PとQが衝突して、その相対速度が０になっているのですから、
縮みが最大のときのPの速度をｖｐ、Qの速度をｖｑとすると、
（反発係数の式）ｖｐ－ｖｑ＝-e×ｖ０のe=0ということになります。
これは非弾性衝突ですから、力学的エネルギーは保存されないと思うのですが、どうして力学的エネルギーは保存されるのでしょうか

回答No.2

foomufoomu · ベストアンサー

No.1回答の通りなんですが、要点だけを書くと

普通、この種の問題では、ばねは完全弾性体と考えます。完全弾性体では変形によるエネルギーの損失はなく、ｅ＝０と考えます。

補足

ｖｐ－ｖｑ＝-e×ｖ０でe=0ということになるににもかかわらず、完全弾性衝突で、力学的エネルギーは保存されるのはなぜですか？
e=0のとき、力学的エネルギーは保存されず、非完全弾性衝突というのではないのでしょうか？

回答No.1

noname#212313

>どうして力学的エネルギーは保存されるのでしょうか

　式を点検してみましょう。

>(1/2)(mv0)^2=(1/2)(mv)^2+(1/2)(Mv)^2+(1/2)kl^2　―(1)

ですね（右辺第三項にバネ定数kが抜けていたので、修正してあります）。バネの無い、質点の衝突だと、

(1/2)(mv0)^2=(1/2)(mv)^2+(1/2)(Mv)^2　―(2)

となるはずです。実は、衝突前後だけ考えるなら(2で良いのです。バネは縮んで元に戻り、ロスもしないし力学的エネルギーも蓄えたままにならないので（設問はそう想定していると見ました）、一時的にバネに力学的エネルギー（弾性エネルギー）が溜まるとしても、最終的には二つの球に力学的エネルギーは返されます。バネはあってなきが如く、になるわけです。

　しかし、バネが縮んでいる状態では弾性エネルギーがバネに溜まっています。それが(1)の第三項「(1/2)kl^2」です。この分だけ、二つの球の運動エネルギーは減ります。(1)の右辺ははバネを含めた力学的エネルギーの総和になっているのです。

>（反発係数の式）ｖｐ－ｖｑ＝-e×ｖ０のe=0ということになります。

　実はご明察、その通りです。もしバネが最大まで縮んで、しかし全く伸びないとしたら、二つの球はバネの反発で離されることがなく、同じ速度で二つ揃って移動し続けることになります。それが完全非弾性衝突の状況なのです。

　非弾性衝突では衝突前後で力学的エネルギーが保存しません。衝突後は減ってしまうのですが、減る分というのが、お示しの問題での縮んだバネの弾性エネルギーに相当するわけです。もしバネが完全に元に戻る（弾性エネルギーを全て二つの球に返す）なら、衝突前後で（完全）弾性衝突と同じになり、その中間なら非弾性衝突と同じになります。