力学的エネルギー保存の法則とは？

質問

初歩的な物だと思うのですがいまいち意味合いがわかりません。
よろしくおねがいします。

質量２．０ｋｇの小球を高さ１０ｍの位置から静かに落とした。
地面に衝突する直前の速さはいくらか。
ただし重力加速度を9.8m/s^2とする。

という問題のときに、
力学的エネルギー保存の法則より
高さ１０ｍの位置に小球がある力学的エネルギー
1/2mv^2＋ｍｇｈ＝1/2×2.0×0^2＋2.0×9.8×10
　　　　　　　　　　＝196

そして衝突する直前の小球の力学的エネルギー

1/2mv^2＋ｍｇｈ＝1/2×2.0×0^2＋2.0×9.8×0
　　　　　　　　　　＝v^2

を求めているのですがそもそも＝で結ばれる理由、
運動エネルギーと位置エネルギーをたす理由をわかりやすく教えていただけませんか？
どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

まず、この問題ですが、小球は常に 2 x 9,8 N の重力を
受けているのだから 10 m 落下したら小球は 196 J のエネルギーを
受け取ります。これが全て小球のエネルギーになるわけですから

(1/2)mv^2 = 196

を解けばよいわけです。ここまでで力学的エネルギー保存則は
必要ありません。

力学的エネルギーの考え方では、小球が地球に預けていたエネルギーを
返してもらうというように考えます。

小球の高さが 10 m 減ると、小球は 196 J のエネルギーを
「返して」もらい、自分の運動エネルギーに加えます。
その分、小球が地球に預けていたエネルギー
(位置エネルギー)　196J　が「減る」と考えます。

このように考えると

小球の運動エネルギー + 小球の位置エネルギー = 一定

が常に成り立つことになります。単に考え方をちょっとすり替えて
いるだけなんです。

お礼

なかなか理解できなかったのですが友人の説明とこちらでの回答で
ようやく理解できました、預けるんですよね＾＾
お礼も遅くなり申し訳ありません。
またほかの方々もご丁寧にありがとうございました

回答No.4

foomufoomu

力学的エネルギーというのは、ニュートン力学の法則を使って変換できる量を、共通の量に置き換えたもののことです。
ちょうど、魚と大根を、直接、物々交換してもよいけれど、いちどお金に換えてから交換すると、価値が分かりやすく計算が便利なのと同じです。（魚＝最初の高さ、大根＝地面直前の速度、お金＝エネルギー、と考えてください）

球が10m自由落下したときの速度は、自由落下の公式から
ｖ＝√(2ｇｈ)
を使って、√(2*9.8*10)=14 これが直接交換した場合です。

これを、強引にエネルギーの式に変換してみましょう。
速度のエネルギーは 1/2ｍｖ^2 ですから、前式の両辺を2乗して1/2ｍをかけてみます。
v^2=2ｇｈ・・・両辺を2乗
1/2ｍｖ^2=ｍｇｈ・・・両辺に1/2ｍをかける
というわけで、あっさり、両辺ともエネルギーの式になりました。
数値を入れてみると
1/2ｍｖ^2=1/2*2*14^2=196
ｍｇｈ=2*9.8*10＝196
で、ぴったり合います。

エネルギーとは、じつは、ちょっとしたトリック計算なのですね。

回答No.2

fjnobu

衝突寸前の状態を、エネルギーから求めると
ｍｇｈ＝１/２ｍＶ＾２となります。
足し算で出すのでは、無いですね。
ｖ＝√（２×ｇ×ｈ）　で求められます。
静止している位置のエネルギーと、高さが０になったときに持っている運動エネルギーが同じということです。

回答No.1

hitokotonusi

簡単に言うと定義です。

運動エネルギーは、運動している物体が停止するまでにすることができる仕事量で、
質量mの物体が速度v1からv2になる間にWの仕事をしたとすると、

(1/2) m v2^2 - (1/2) m v1^2 = W

と書くことができるというのが運動エネルギーの定義です。

また、力が座標のみで決まる場合(1次元)、物体が位置x1からx2に動く間にその力がWの仕事をしたとすると、
この仕事はある位置の関数の差で書くことができ、その関数を次の式で定義します。

W = - [ U(x2) - U(x1) ]

この関数U(x)が位置エネルギーです。

たとえば、質量mの物体が重力mgの下で高さx1からx2まで動いたとすると(x1 > x2)、
移動距離が(x1-x2)なのでその間になされた仕事Wは、力×移動距離で

W = mg ×(x1 - x2) = - [ mg x2 - mg x1 ]

となりますので、mg xが重力の位置エネルギーU(x)です。

したがって、質量mの物体がx1, v1の状態からx2, v2の状態に変る間にWの仕事をしたとすると

(1/2) m v2^2 - (1/2) m v1^2 = W = - [ U(x2) - U(x1) ]

が成り立ち、これを変形すれば

(1/2) m v2^2 + U(x2) = (1/2) m v1^2 + U(x1)

となるので、(1/2) m v^2 + U(x) という量は常に一定に保たれることになります。
これが力学的エネルギー保存則です。