位相に関する質問です

質問

(定理)
Ｓを空でない一つの集合とする。
ＯをＳにおける一つの位相とする時、その部分集合ＢがＯの基底となる為には、任意のo∈Ｏおよび任意のx∈oに対して、
x∈Ｗ,Ｗ⊂oとなるようなＷ∈Ｂが存在することが必要十分である。

この定理の証明を考えたのですが、よくわかりませんでした。

以下、自分で考えた解答(未完成)です。

(証)
ＢがＯの基底だとを仮定する。
すると定義より
∀o∈Ｏに対してo＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ （Ｗ_λ∈Ｂ）が成立。
ここで、∀x∈oを考えると、o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
∃Ｗ_λ'∈Ｂ s.t. x∈Ｗ_λ'
また、Ｗ_λ'⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ＝oである。
Ｗ:＝Ｗ_λ'として以上をまとめると
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o

逆に、
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o
を仮定する。

x∈oとすると、仮定より、あるＷ_λ'∈Ｂが存在して
x∈Ｗ_λ' , Ｗ_λ'⊂oが成立するから
x∈o⇒x∈Ｗ_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
o⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ　

ここまでしかできませんでした。
あとはo⊃∪_[λ∈Λ]Ｗ_λさえ示せれば
o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λとなり、oは今任意なのでＢは基底だと言えると思ったのですが。。。
(そもそも上の回答自体間違ってるかもしれません・・・)

どなたか、詳しい方教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

うーん。。
「逆に」の部分の証明を言葉で書きます。
数学的な表現に直すのはやってみてください。

証明するのは、
「任意の開集合oは、集合族（集合の集合）であるＢから適当にいくつか（無限個の場合もあり）の集合を取ってくると、それらの和集合として表わされる」…(☆)
ていうことです。（これは、いいですか？）
で、仮定より、開集合oに含まれる全ての点xについて、
Ｗx∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗx , Ｗx⊂o 　…(♪)
となるような開集合Ｗxがあります。
ここで、開集合oの全ての点について、それぞれ、(♪)を満たすような集合Wxを取ってきて、それら全ての和集合をとった集合をRとすると、R＝o がなりたちます。このRがつまり(☆)の具体例になってます。（証明終わり）

なぜ、R=o が成り立つのかは、ご自分でどうぞ。（ほとんど自明ですが）

補足

回答ありがとうございます。
＞「任意の開集合oは、集合族（集合の集合）であるＢから適当にいく＞つか（無限個の場合もあり）の集合を取ってくると、それらの和集合＞として表わされる」…(☆)
＞ていうことです。（これは、いいですか？）
はい、これはＯＫです。

＞なぜ、R=o が成り立つのかは、ご自分でどうぞ

[Ｒ=∪_[x∈o]Ｗ_x=oの証明]
x'∈∪_[x∈o]Ｗ_xとすると
あるx_0∈oが存在してx'∈Ｗ_(x_0)
Ｗ_xの決め方から、Ｗ_(x_0)⊂oであるからx'∈oだとわかる。
よって∪_[x∈o]Ｗ_x⊂oが成立。

逆にx'∈oとすると、(♪)よりx'∈Ｗ_x'であり、
Ｗ_x'⊂∪_[x∈o]Ｗ_xだから、x'∈∪_[x∈o]Ｗ_x
よって∪_[x∈o]Ｗ_x⊃o

したがってR=oである。

これでＯＫでしょうか？
というか、これと同じことをひとつ前のNo.3の補足に書いて証明したつもりなのですが、あれではダメのでしょうか？
同じことをやっているとおもうのですが・・。

これで、(しなくても良いかも知れませんが、)
Λ=o、x=λとして、今得られた結果書き直してやれば

任意のＯの元oに対してあるΛ(λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ)が存在して、
o=∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ

ということになってＢは基底である。

No.3の補足に書いた証明と同じではないですか？

どうか回答よろしくお願いします。m(_ _)m

回答No.5

rabbit_cat

＞というか、これと同じことをひとつ前のNo.3の補足に書いて証明したつもりなのですが、あれではダメのでしょうか？
見返すと「補足３の証明」でいいみたいです。
ちょっと先入観を持ってみてしまいました。
最初、パッと見たときに、
＞すると、∀λ∈o ∃Ｗ_λ∈Ｂ　s.t.　λ∈Ｗ_λ , Ｗ_λ⊂oが成立。
ていう行で引っかかったんですが、まあ問題ないです。
わざわざ、x→λ って書き換えないで、xのまま通せばいいのでは、と思わなくもないですが、その本での開基の定義が、o=∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ となっているんでしょうから、ここで書き換えるってのも確かに分からなくはないですね。

お礼

回答ありがとうございます。
私の書き方が悪かったみたいです、申し訳ないですm(_ _)m
でもやっとわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_u

>x∈Ｗ_λ'' , Ｗ_λ''⊂oが成立。
>つまりλ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ , Ｗ_λ⊂oなるΛが存在する。

記号に振り回されて、まったくわかっていないとお見受けします。
面倒なので、答えを書きましょう。Λはすなわち o です。

補足

回答ありがとうございます。

＞記号に振り回されて、まったくわかっていないとお見受けします。
仰るとおりです。御指摘ありがとうございます。
数学は苦手ですが、なんとか理解したいので、もう一度解答を書きなおしてみました。こんな感じでしょうか・・・？

(証)
ＢがＯの基底だと仮定する。
すると定義より
∀o∈Ｏに対してあるΛが存在して、
（λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ）, o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ が成立。

ここで、∀x∈oを考えると、o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
∃Ｗ_λ'∈Ｂ s.t. x∈Ｗ_λ'
また、Ｗ_λ'⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ＝oである。
Ｗ:＝Ｗ_λ'として以上をまとめると
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o
(ここまでは前回の解答と同じです。)

逆に、∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂oを仮定する。

すると、∀λ∈o ∃Ｗ_λ∈Ｂ　s.t.　λ∈Ｗ_λ , Ｗ_λ⊂oが成立。
このとき、∪_[λ∈o]Ｗ_λ＝oが成立する。

実際、λ'∈∪_[λ∈o]Ｗ_λ⇒∃λ_0∈o s.t. λ'∈Ｗ_(λ_0)
Ｗ_λの決め方から、Ｗ_(λ_0)⊂oなのでλ'∈o
よって∪_[λ∈o]Ｗ_λ⊂o・・・(1)

一方、λ'∈oとすると、λ'∈Ｗ_λ'であり
Ｗ_λ'⊂∪_[λ∈o]Ｗ_λなので、λ'∈∪_[λ∈o]Ｗ_λ
よってo⊂∪_[λ∈o]Ｗ_λ・・・(2)

(1)(2)より、Λ:=oとしてやれば、
「∀o∈Ｏに対してあるΛが存在して
（λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ）, o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ」 が成立。
よってＢは基底である。(終)

回答No.2

rabbit_cat

「逆に」の部分は、
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o　⇒ ∃Λ s.t （λ∈Λ⇒W_λ∈B），o=∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ
を証明するのが目的ですよ。
「～をみたすようなΛが存在する」ていうのを証明するんだという目的意識が薄いような。

補足

回答ありがとうございます。

もう一度証明を書きなおしてみたのですがどうでしょうか・・・。

(証)
ＢがＯの基底だと仮定する。
すると定義より
∀o∈Ｏに対してあるΛが存在して、
（λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ）, o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ が成立。

ここで、∀x∈oを考えると、o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
∃Ｗ_λ'∈Ｂ s.t. x∈Ｗ_λ'
また、Ｗ_λ'⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ＝oである。
Ｗ:＝Ｗ_λ'として以上をまとめると
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o

逆に∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂oを仮定する。
x∈oとすると、仮定より、あるＷ_λ''∈Ｂが存在して
x∈Ｗ_λ'' , Ｗ_λ''⊂oが成立。
つまりλ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ , Ｗ_λ⊂oなるΛが存在する。
(λ''∈Λより、Λは空でない)

このΛに対して
x∈o⇒x∈Ｗ_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
o⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ

一方、x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ⇒∃λ∈Λ s.t. x∈Ｗ_λ
Λの決め方から、Ｗ_λ⊂oであるから
x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ⇒x∈oが成立。
よってo⊃∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ

まとめると、
∀o∈Ｏに対してあるΛが存在して、
（λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ）, o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ
ゆえにＢは基底である。(終)

後半はΛを強調したつもりです。
添削お願いできないでしょうか？
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

koko_u_u

ぶっちゃけ、もう出来てるんだけど。
気付いてないということは、わかっていないということなんでしょうね。。。

お礼

逆に、
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o
を仮定する。

x∈oとすると、仮定より、あるＷ_λ'∈Ｂが存在して
x∈Ｗ_λ' , Ｗ_λ'⊂oが成立する。
ここでＷ_λ' は、oに含まれるＢの元Ｗ_λの和集合に含まれるから
x∈o⇒x∈Ｗ_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ
つまりo＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ　(Ｗ_λはoに含まれるＢの元)

よって定義によりＢは基底である・・・。

↑これではダメでしょうか？

また、x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λとすると
∃λ''∈Λ　s.t. x∈Ｗ_λ
今、Ｗ_λ''はoに含まれているのだから
x∈Ｗ_λ''⇒x∈o
よって∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ⊂o

つまりo＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λだから

補足

回答ありがとうございます。

＞ぶっちゃけ、もう出来てるんだけど。
＞気付いてないということは、わかっていないということなんでしょうね。。。

私が質問文に書いた証明の途中で証明が完結しているということではないですよね？
o⊃∪_[λ∈Λ]Ｗ_λは自明だということですか？