位相に関する質問です

質問

(定理)
Ｓを空でない一つの集合とする。
ＯをＳにおける一つの位相とする時、その部分集合ＢがＯの基底となる為には、任意のo∈Ｏおよび任意のx∈oに対して、
x∈Ｗ,Ｗ⊂oとなるようなＷ∈Ｂが存在することが必要十分である。

この定理の証明を考えたのですが、よくわかりませんでした。

以下、自分で考えた解答(未完成)です。

(証)
ＢがＯの基底だとを仮定する。
すると定義より
∀o∈Ｏに対してo＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ （Ｗ_λ∈Ｂ）が成立。
ここで、∀x∈oを考えると、o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
∃Ｗ_λ'∈Ｂ s.t. x∈Ｗ_λ'
また、Ｗ_λ'⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ＝oである。
Ｗ:＝Ｗ_λ'として以上をまとめると
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o

逆に、
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o
を仮定する。

x∈oとすると、仮定より、あるＷ_λ'∈Ｂが存在して
x∈Ｗ_λ' , Ｗ_λ'⊂oが成立するから
x∈o⇒x∈Ｗ_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
o⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ　

ここまでしかできませんでした。
あとはo⊃∪_[λ∈Λ]Ｗ_λさえ示せれば
o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λとなり、oは今任意なのでＢは基底だと言えると思ったのですが。。。
(そもそも上の回答自体間違ってるかもしれません・・・)

どなたか、詳しい方教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.2

rabbit_cat

「逆に」の部分は、
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o　⇒ ∃Λ s.t （λ∈Λ⇒W_λ∈B），o=∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ
を証明するのが目的ですよ。
「～をみたすようなΛが存在する」ていうのを証明するんだという目的意識が薄いような。

補足

回答ありがとうございます。

もう一度証明を書きなおしてみたのですがどうでしょうか・・・。

(証)
ＢがＯの基底だと仮定する。
すると定義より
∀o∈Ｏに対してあるΛが存在して、
（λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ）, o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ が成立。

ここで、∀x∈oを考えると、o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
∃Ｗ_λ'∈Ｂ s.t. x∈Ｗ_λ'
また、Ｗ_λ'⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ＝oである。
Ｗ:＝Ｗ_λ'として以上をまとめると
∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂o

逆に∀o∈Ｏ　∀x∈o　∃Ｗ∈Ｂ　s.t.　x∈Ｗ , Ｗ⊂oを仮定する。
x∈oとすると、仮定より、あるＷ_λ''∈Ｂが存在して
x∈Ｗ_λ'' , Ｗ_λ''⊂oが成立。
つまりλ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ , Ｗ_λ⊂oなるΛが存在する。
(λ''∈Λより、Λは空でない)

このΛに対して
x∈o⇒x∈Ｗ_λ'⇒x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λより
o⊂∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ

一方、x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ⇒∃λ∈Λ s.t. x∈Ｗ_λ
Λの決め方から、Ｗ_λ⊂oであるから
x∈∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ⇒x∈oが成立。
よってo⊃∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ

まとめると、
∀o∈Ｏに対してあるΛが存在して、
（λ∈Λ⇒Ｗ_λ∈Ｂ）, o＝∪_[λ∈Λ]Ｗ_λ
ゆえにＢは基底である。(終)

後半はΛを強調したつもりです。
添削お願いできないでしょうか？
どうかよろしくお願いいたします。