- 締切済み
位相空間論における中間値の定理の証明
こんにちは。 中間値の定理についての質問です。 「・中間値の定理 Xを位相空間、f : X → R を連続関数とする。 Xが連結で、x1,x2 ∈ X が f (x1) < f (x2) を満たすとき、f (x1) < t < f (x2)を満たす任意の ｔ に対して、 f (x) = t をみたすx∈Xが存在する。 」 授業や参考書では以下のようにして証明していました。 「（概略） このようなｘが存在しないと仮定する。 このとき、f (X) ⊂ (-∞ , t) ∪ (t , ∞) となる。 したがって、f (X) ∩ (-∞ , t) と f (X) ∩ (t , ∞) は f (X) の分離となる。 これはf (X) の連結性に矛盾する。 よって題意をみたすxが存在する。 」 しかし、私は次のように証明しました。 「このようなｘが存在しないと仮定する。 A = f^(-1) ((-∞ , t)) , B = f^(-1) ((t , ∞)) とおく。 ｆの連続性からAとBはともに開集合。 さらに x1∈ A , x2 ∈ B よりAとBはともに空集合ではない。 A∪B = X , A∩B = φよりAとBはXの分離になる。 これはXの連結性に矛盾する。 よって題意をみたすxが存在する。 」 この私の証明でどこか間違った部分はあるのでしょうか？ 思わぬところでミスがありそうで不安でしたので質問しました。 わかる方がいましたら回答よろしくお願いします。
- tumftmk
- お礼率62% (15/24)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
「連結空間の連続写像による像は連結である」 という定理の証明をどうするのかが分かれば 疑問は解けるのでは？ ========= つまりこの定理を使うか 定理の証明と同じような議論をするかというだけの 違いです．
関連するQ&A
- 中間値の定理
中間値の定理、、、 ３次方程式x^3-x^2-2x+1＝0は区間(-2.1)に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ f(x)＝x^3-x^2-2x+1とする f(-2)＝（-2)^3-(-2)^2-2×-2+1＝-7 f(1)＝-1-1+2+1 f(-2)とf(1)は互いに異符号である よって中間値の定理により ｆ（x）＝0を満たすxが少なくとも1つ存在する 中間値の定理って １ 関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)の時f(a)とf(b)の間にある任意のkに対してf(c)=kを満たす点cが少なくとも一つ存在する。 ２ 特にf(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)とf(b)が異符号の時f(x)＝0を満たすx即ち方程式f(x)＝の解が少なくとも一つ存在する。 これって何で中間値の定理の２番使って証明してますが何で２番使うんですか？ だって互いに異符号なのを最初に示してる時点で２を使ってますよね ２は中間値の定理ですよね あとこれがどうなったら、公式1にすればいいんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中間値の定理について
中間値の定理は f(a)とf(b)の符号が異なれば(a,b)に少なくとも1つは解をもつ ですよね? この時f(x)が単調増加または単調減少ならば解はちょうど一つに限られますよね? これは中間値の定理に含まれませんか? 証明なしに用いてもよいのでしょうか…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間の連結性について
Rn:n次元Euclid空間 a∈Rnとする。 このとき、Rn－{a}は連結である。 この証明方法を教えて欲しいです。 Rn-{a}が連結であると仮定すると Rn-{a}＝A∪B A∩B＝Φ A≠φ B≠φを満たすRn-{a}の閉集合A,Bが存在する。 ・・・ で矛盾を導くのかな？と考えるのですが、どのように証明したらいいのか解りません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中間値の定理とその系について
中間値の定理について (1)中間値の定理は逆について真でしょうか。つまり「関数f(x)が区間[a,b]で連続で、ｆ（a）≠ｆ（ｂ）ならば、ｆ（a）とｆ（ｂ）の間の任意の値ｋに対して、ｆ（ｃ）＝ｋ、a＜ｃ＜ｂを満たすｃが少なくとも一つ存在する」の逆は真かどうか (2)中間値の定理の系について、[関数f(x)が区間[a,b]で連続で、ｆ（a）≠ｆ（ｂ）、ｆ（ｘ）が単調増加または単調減少ならば、 ｆ（a）とｆ（ｂ）の間の任意の値ｋに対して、ｆ（ｃ）＝ｋ、a＜ｃ＜ｂを満たすｃがただ１つ存在する。」 の逆は言えますか？ 高校数学の範囲で詳しい解説をお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中間値の定理を用いて実数解をもつことの証明
方程式f（X）＝x３乗＋aX二乗＋ｂx＋C＝０は 定数a,bのいかんにかかわらず一つの実数解を持つことを中間値の うが 定理を用いて証明せよという問題があります。 適当にX＝２、X＝－４とかでｆ（X）の符号が違うことを 示して証明しようと思ったのですが a、b、cと文字がでてくるので大小関係がわからず証明できずに こまっています どなたか教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間についての質問です。
位相空間(T,Ot)(Tは集合でOtは位相)として、a,b,cはTの元とします。 連続写像φ:[0,1]→T、φ(0)=a、φ(1)=bが存在して、 連続写像ψ:[0,1]→T、ψ(0)=b、ψ(1)=cが存在するとします。 このとき、連続写像g:[0,1]→T、g(0)=a、g(1)=cは存在するのでしょうか？ もし存在するなら証明してほしいです。 自分の持ってる教科書の連続写像の定義は、 f:(T,Ot)→(S,Os)が点a∈Tで連続。 ⇔f(a)∈Uとなる任意のU∈Osに対して、あるV∈Ot,a∈Vが存在して、f(V)Uとなる。 と定めています。 一応、自分で考えたのは、 g:[0,1]→T、g(x)=φ(2x)(0≦x≦1/2)、g(x)=ψ(2x−1)(1/2≦x≦1)なのですが、x=1/2で連続なのかわかりません。g:[0,1/2]→T, g:[1/2,1]→Tは連続だと思います。 g(1/2)∈Uとなる開集合U⊂Tを任意に取ります。 g:[0,1/2]→Tの連続性から1/2∈V1、V1⊂[0,1/2] となる開集合が存在してg(V1)⊂Uで、 g:[1/2,1]→Tの連続性から1/2∈V2、V2⊂[1/2,1] となる開集合が存在してg(V2)⊂Uとなる事はわかります。 V1もV2も[0,1]の相対位相の元なので、V1UV2は、[0,1]の開集合となるのかわからないです。 (V1もV2も[0,1]の位相の元([0,1]の開集合)ならば、V1UV2は、[0,1]の開集合となる事はわかります。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
